Question

已知一個(gè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和是Sn=

1

4

n2+

2

3

n+3，
（1）求a₁的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）證明{a_n}不是等差數(shù)列．

Answer 1

分析：（1）令n=1，利用等式Sn=

1

4

n2+

2

3

n+3直接可以求出a₁的值，
（2）由a_n=S_n-S_n-1（n≥2）得，求出n≥2時(shí)a_n的表達(dá)式，然后求出a₁的值，是否與（1）問(wèn)求出a₁的值相符，
（3）由（2）問(wèn)可知，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=

1

2

n-

5

12

是等差數(shù)列，a₁不滿(mǎn)足等式，故可證明{a_n}不是等差數(shù)列．

解答：解：（1）∵Sn=

1

4

n2+

2

3

n+3，
∴a₁=S₁=

1

4

+

2

3

+3=

47

12

，
（2）由a_n=S_n-S_n-1（n≥2）得，
a_n=

1

4

n2+

2

3

n+3-

1

4

（n-1）²-

2

3

（n-1）-3=

1

2

n-

5

12

，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=

1

12

，
∴a_n=

1 2 n- 5 12   n≥2 47 12    n=1

，
（3）當(dāng)n≥2，a_n=

1

2

n-

5

12

是等差數(shù)列，當(dāng)n=1時(shí)，a₁不滿(mǎn)足等式，
故{a_n}不是等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列遞推式和等差關(guān)系的確定的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是由a_n=S_n-S_n-1（n≥2）求出a_n的表達(dá)式，此題難度一般．