如圖,已知正四棱錐R-ABCD的底面邊長為4,高為6,點P是高的中點,點Q是側(cè)面RBC的重心.求:

(1)異面直線PQ與BR所成的角;

(2)直線PQ與底面ABCD所成的角.

答案:
解析:

  解:以正四棱錐的底面中心O為原點,過O平行于AD的直線為x軸建立空間直角坐標系,如圖.

  則R(0,0,6),B(2,2,0),C(-2,2,0),

  ∵P是RO的中點,Q是△RBC的重心,

 ∴P(0,0,3),Q(0,,2).

  (1)=(0,,-1),=(-2,-2,6),

  ∴cos〈,〉=

  ∴異面直線PQ與BR所成的角為arccos

  (2)方法一:∵RQ⊥底面ABCD,

  ∴RE在底面的射影為OE.

  ∵Q∈RE,∴Q在底面上的射影在OE上.

  ∴PQ在底面上的射影為OE.

  ∴∠REO為PQ與底面ABCD所成的角.

  ∵E(0,2,0),∴=(0,2,0).

  ∴cos〈,〉=

  ∴直線PQ與底面ABCD所成的角是arccos

  方法二:平面ABCD的一個法向量為n=(0,0,1),

  ∴cos〈n〉=

  ∵〈,n〉為鈍角,∴PQ與平面ABCD所成的角為〈,n〉補角的余角.∴PQ與平面ABCD所成的角為


提示:

本題考查了異面直線所成的角和直線與平面所成角的求法.通常有兩種方法:(1)“找→求”的常規(guī)法;(2)向量法.


練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•江蘇一模)某部門要設(shè)計一種如圖所示的燈架,用來安裝球心為O,半徑為R(米)的球形燈泡.該燈架由燈托、燈桿、燈腳三個部件組成,其中圓弧形燈托
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所在圓的圓心都是O、半徑都是R(米)、圓弧的圓心角都是θ(弧度);燈桿EF垂直于地面,桿頂E到地面的距離為h(米),且h>R;燈腳FA1,F(xiàn)B1,F(xiàn)C1,F(xiàn)D1是正四棱錐F-A1B1C1D1的四條側(cè)棱,正方形A1B1C1D1的外接圓半徑為R(米),四條燈腳與燈桿所在直線的夾角都為θ(弧度).已知燈桿、燈腳的造價都是每米a(元),燈托造價是每米
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(元),其中R,h,a都為常數(shù).設(shè)該燈架的總造價為y(元).
(1)求y關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當θ取何值時,y取得最小值?

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科目:高中數(shù)學 來源:2013年江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)、徐州、連云港六市高考數(shù)學一模試卷(解析版) 題型:解答題

某部門要設(shè)計一種如圖所示的燈架,用來安裝球心為O,半徑為R(米)的球形燈泡.該燈架由燈托、燈桿、燈腳三個部件組成,其中圓弧形燈托,,所在圓的圓心都是O、半徑都是R(米)、圓弧的圓心角都是θ(弧度);燈桿EF垂直于地面,桿頂E到地面的距離為h(米),且h>R;燈腳FA1,F(xiàn)B1,F(xiàn)C1,F(xiàn)D1是正四棱錐F-A1B1C1D1的四條側(cè)棱,正方形A1B1C1D1的外接圓半徑為R(米),四條燈腳與燈桿所在直線的夾角都為θ(弧度).已知燈桿、燈腳的造價都是每米a(元),燈托造價是每米(元),其中R,h,a都為常數(shù).設(shè)該燈架的總造價為y(元).
(1)求y關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當θ取何值時,y取得最小值?

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