如圖,已知正四棱錐R-ABCD的底面邊長為4,高為6,點P是高的中點,點Q是側(cè)面RBC的重心.求:
(1)異面直線PQ與BR所成的角;
(2)直線PQ與底面ABCD所成的角.
解:以正四棱錐的底面中心O為原點,過O平行于AD的直線為x軸建立空間直角坐標系,如圖. 則R(0,0,6),B(2,2,0),C(-2,2,0), ∵P是RO的中點,Q是△RBC的重心, ∴P(0,0,3),Q(0,,2). (1)=(0,,-1),=(-2,-2,6), ∴cos〈,〉=. ∴異面直線PQ與BR所成的角為arccos. (2)方法一:∵RQ⊥底面ABCD, ∴RE在底面的射影為OE. ∵Q∈RE,∴Q在底面上的射影在OE上. ∴PQ在底面上的射影為OE. ∴∠REO為PQ與底面ABCD所成的角. ∵E(0,2,0),∴=(0,2,0). ∴cos〈,〉=. ∴直線PQ與底面ABCD所成的角是arccos. 方法二:平面ABCD的一個法向量為n=(0,0,1), ∴cos〈,n〉=. ∵〈,n〉為鈍角,∴PQ與平面ABCD所成的角為〈,n〉補角的余角.∴PQ與平面ABCD所成的角為. |
本題考查了異面直線所成的角和直線與平面所成角的求法.通常有兩種方法:(1)“找→求”的常規(guī)法;(2)向量法. |
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
EA |
EB |
EC |
ED |
a |
3 |
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科目:高中數(shù)學 來源:2013年江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)、徐州、連云港六市高考數(shù)學一模試卷(解析版) 題型:解答題
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