Question

已知數(shù)列{f（n）}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=n²+2n．
（1）求數(shù)列{f（n）}通項(xiàng)公式；
（2）若a₁=f（1），a_n+1=f（a_n）（n∈N*），求證數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）由S_n=n²+2n知，數(shù)列{f（n）}是一個(gè)等差數(shù)列，由公式Sn=（a₁-

d

2

）×n+

d

2

n²知公差為2，首項(xiàng)為3，
（2）中的題由將（1）的結(jié)論代入可知，a₁=3，a_n+1=f（a_n）=2a_n+1，此數(shù)列可構(gòu)造為a_n+1+1=2（a_n+1）可得出其為首項(xiàng)是4，公比為2的等比數(shù)列

解答：解：（1）∵S_n=n²+2n，∴數(shù)列{f（n）}是一個(gè)等差數(shù)列，
由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式S_n=（a₁-

d

2

）×n+

d

2

n²知公差為2，首項(xiàng)為3
∴f（n）=2n+1；
（2）由題意a₁=f（1）=3，a_n+1=f（a_n）=2a_n+1（n∈N*），
∵a_n+1+1=2（a_n+1）（n∈N*），
∴數(shù)列{a_n+1}是以a₁+1=4為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列．
∴a_n+1=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹，即a_n=2ⁿ⁺¹-1
∴數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和T_n=

4×(1-2n)

1-2

-n=2ⁿ⁺²-n-4

點(diǎn)評(píng)：本題（1）是一個(gè)基本題，考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式比較基本；（2）需要整理觀察，要求有一定的觀察配形的能力．