定義在(-1,1)上的函數(shù)f(x)滿足:①對任意x,y∈(-1,1),都有f(x)+f(y)=f(
x+y
1+xy
)
;②f(x)在(-1,1)上是單調(diào)遞增函數(shù),f(
1
2
)=1

(1)求f(0)的值;
(2)證明:f(x)為奇函數(shù);
(3)解不等式f(2x-1)<1.
分析:(1)通過賦值法,x=y=0,求出f(0)=0;
(2)說明函數(shù)f(x)的奇偶性,通過令y=-x,推出對于任意的x∈R,恒有f(-x)=-f(x),f(x)為奇函數(shù).
(3)f(2x-1)<1即f(2x-1)<f(
1
2
),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,即可求滿足f(2x-1)<1的實數(shù)x的集合.
解答:解:(1)取x=y=0,則f(0)+f(0)=f(0),
∴f(0)=0
(2)令y=-x∈(-1,1),則f(x)+f(-x)=f(
x-x
1-x2
)=f(0)=0

∴f(-x)=-f(x)
則f(x)在(-1,1)上為奇函數(shù).
(3)不等式可化為
-1<2x-1<1
2x-1<
1
2
0<x<1
x<
3
4
⇒0<x<
3
4

解集為(0,
3
4
)
點評:本題是綜合題,考查賦值法求函數(shù)值的應用,函數(shù)奇偶性的判斷與證明,函數(shù)圖象的應用,不等式的解法.運算能力,理解能力要求比較高.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
ax+b
1+x2
是定義在(-1,1)上的奇函數(shù),且f(
1
2
)=
2
5
,
①求函數(shù)f(x)的解析式;
②判斷函數(shù)f(x)在(-1,1)上的單調(diào)性并用定義證明;
③解關于x的不等式f(log2x-1)+f(log2x)<0.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

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(2)解不等式f(x+)<f().

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函數(shù)f(x)=是定義在(-1,1)的奇函數(shù),且f()=
(1)確定f(x)的解析式;
(2)判斷函數(shù)在(-1,1)上的單調(diào)性;
(3)解不等式f(t-1)+f(t)<0.

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函數(shù)f(x)=是定義在(-1,1)的奇函數(shù),且f()=
(1)確定f(x)的解析式;
(2)判斷函數(shù)在(-1,1)上的單調(diào)性;
(3)解不等式f(t-1)+f(t)<0.

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