Question

已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明：對(duì)任意的，存在唯一的，使；
（3）設(shè)（2）中所確定的關(guān)于的函數(shù)為，證明：當(dāng)時(shí)，有.

Answer 1

（1）減區(qū)間是，增區(qū)間是；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

試題分析：（1）先確定函數(shù)的定義域，然后利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）構(gòu)造函數(shù)
，利用函數(shù)的單調(diào)性與零點(diǎn)存在定理來證明題中結(jié)論；（3）根據(jù)（2）中的結(jié)論得到
，利用換元法令得到，于是將問題轉(zhuǎn)化為且，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)來證明在區(qū)間上恒成立即可.
試題解析：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824043745800566.png" style="vertical-align:middle;" />，
，令，得，
當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：

		極小值

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；
（2）當(dāng)時(shí)，.設(shè)，令，，
由（1）知在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，
，，
故存在唯一的，使得成立；
（3），由（2）知，，且，
，
其中，，要使成立，只需且，
當(dāng)時(shí)，若，則由的單調(diào)性，有，矛盾，
所以，即，從而成立.
又設(shè)，則，
所以在內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)為減函數(shù)，
在上的最大值為
成立，
當(dāng)時(shí)，成立.