Question

設(shè)橢圓C₂：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），拋物線C₂：x²+by=b²．
（1）若C₂經(jīng)過C₁的兩個焦點，求C₁的離心率；
（2）設(shè)A（0，b），Q(3

3

，

5

4

)，又M、N為C₁與C₂不在y軸上的兩個交點，若△AMN的垂心為B(0，

3

4

b)，且△QMN的重心在C₂上，求橢圓C和拋物線C₂的方程．

Answer 1

分析：（1）由已知橢圓焦點（c，0）在拋物線上，可得：c²=b²，由a²=b²+c²，求得C₁的離心率；
（2）由題設(shè)可知M、N關(guān)于y軸對稱，設(shè)M（-x₁，y₁），N（x₁，y₁）（x₁＞0），由△AMN的垂心為B，根據(jù)三角形的垂心是三條高線的交點，可知

BM

•

AN

=0，再根據(jù)三角形的重心坐標公式求得△QMN的重心，代入拋物線C₂：x²+by=b²，即可求得橢圓C和拋物線C₂的方程．

解答：解：
（1）由已知橢圓焦點（c，0）在拋物線上，可得：c²=b²，
由a2=b2+c2=2c2，有

c2

a2

=

1

2

?e=

2

2

．
（2）由題設(shè)可知M、N關(guān)于y軸對稱，設(shè)M（-x₁，y₁），N（x₁，y₁）（x₁＞0），由△AMN的垂心為B，有

BM

•

AN

=0?-

x

2 1

+(y1-

3

4

b)(y1-b)=0．
由點N（x₁，y₁）在拋物線上，x₁²+by₁=b²，解得：y1=-

b

4

或y1=b(舍去)
故x1=

5

2

b，M(-

5

2

b，-

b

4

)，N(

5

2

b，-

b

4

)，
得△QMN重心坐標(

3

，

b

4

)．
由重心在拋物線上得：3+

b2

4

=b2，所以b=2，M(-

5

，-

1

2

)，N(

5

，-

1

2

)，
又因為M、N在橢圓上得：a2=

16

3

，
橢圓方程為

x2

16 3

+

y2

4

=1，拋物線方程為x²+2y=4．

點評：此題是個中檔題．考查橢圓和拋物線的定義、基本量，通過交點三角形來確認方程．考查拋物線的定義和簡單的幾何性質(zhì)，特別是問題（2）的設(shè)問形式，增加了題目的難度，同時考查了三角的垂心和重心有關(guān)性質(zhì)和公式，綜合性強．