Question

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，給定三點(diǎn)A(0，

4

3

)，B(-1，0)，C(1，0)，點(diǎn)P到直線BC的距離是該點(diǎn)到直線AB，AC距離的等比中項(xiàng)．
（Ⅰ）求點(diǎn)P的軌跡方程；
（Ⅱ）若直線L經(jīng)過△ABC的內(nèi)心（設(shè)為D），且與P點(diǎn)的軌跡恰好有3個(gè)公共點(diǎn)，求L的斜率k的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）直線AB、AC、BC的方程依次為y=

4

3

(x+1)，y=-

4

3

(x-1)，y=0．點(diǎn)P（x，y）到AB、AC、BC的距離依次為d1=

1

5

|4x-3y+4|，d2=

1

5

|4x+3y-4|，d3=|y|．依設(shè)，d₁d₂=d₃²，得|16x²-（3y-4）²|=25y²，即16x²-（3y-4）²+25y²=0，或16x²-（3y-4）²-25y²=0，化簡(jiǎn)得點(diǎn)P的軌跡方程為
圓S：2x²+2y²+3y-2=0與雙曲線T：8x²-17y²+12y-8=0
（Ⅱ）由前知，點(diǎn)P的軌跡包含兩部分
圓S：2x²+2y²+3y-2=0①
與雙曲線T：8x²-17y²+12y-8=0②△ABC的內(nèi)心D也是適合題設(shè)條件的點(diǎn)，由d₁=d₂=d₃，解得D(0，

1

2

)，且知它在圓S上．直線L經(jīng)過D，且與點(diǎn)P的軌跡有3個(gè)公共點(diǎn)，所以，L的斜率存在，設(shè)L的方程為y=kx+

1

2

③
（i）當(dāng)k=0時(shí)，L與圓S相切，有唯一的公共點(diǎn)D；此時(shí)，直線y=

1

2

平行于x軸，表明L與雙曲線有不同于D的兩個(gè)公共點(diǎn)，所以L恰好與點(diǎn)P的軌跡有3個(gè)公共點(diǎn)．
（ii）當(dāng)k≠0時(shí)，L與圓S有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．這時(shí)，L與點(diǎn)P的軌跡恰有3個(gè)公共點(diǎn)只能有兩種情況：
情況1：直線L經(jīng)過點(diǎn)B或點(diǎn)C，此時(shí)L的斜率k=±

1

2

，直線L的方程為x=±（2y-1）．代入方程②得y（3y-4）=0，解得E(

5

3

，

4

3

)或F(-

5

3

，

4

3

)．表明直線BD與曲線T有2個(gè)交點(diǎn)B、E；直線CD與曲線T有2個(gè)交點(diǎn)C、F．
故當(dāng)k=±

1

2

時(shí)，L恰好與點(diǎn)P的軌跡有3個(gè)公共點(diǎn)．（11分）
情況2：直線L不經(jīng)過點(diǎn)B和C（即k≠±

1

2

），因?yàn)長(zhǎng)與S有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以L與雙曲線T有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．即方程組

8x2-17y2+12y-8=0 y=kx+ 1 2

有且只有一組實(shí)數(shù)解，消去y并化簡(jiǎn)得(8-17k2)x2-5kx-

25

4

=0
該方程有唯一實(shí)數(shù)解的充要條件是8-17k²=0④
或(-5k)2+4(8-17k2)

25

4

=0⑤
解方程④得k=±

2 34

17

，解方程⑤得k=±

2

2

．
綜合得直線L的斜率k的取值范圍{0，±

1

2

，±

2 34

17

，±

2

2

}．（14分）