Question

將正整數(shù)2012表示成n個(gè)正整數(shù)x₁，x₂，x₃，…x_n之和．記s=

1≤i＜j≤n

xi•xj．
（I）當(dāng)n=2時(shí)，x₁，x₂取何值時(shí)s有最大值．
（II）當(dāng)n=5時(shí)，x₁，x₂，x₃，x₄，x₅分別取何值時(shí)，s取得最大值，并說(shuō)明理由．
（III）設(shè)對(duì)任意的1≤i＜j≤5且|x_i-x_j|≤2，當(dāng)x₁，x₂，x₃，x₄，x₅取何值時(shí)，S取得最小值，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（ I）根據(jù) x₁+x₂=2012，利用均值不等式，求得當(dāng)x₁=x₂=1006時(shí)，S有最大值1006²．
（ II）當(dāng)x₁=x₂=x₃=402，x₄=x₅=403時(shí)，S取得最大值．理由：x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=2012，利用基本不等式可得當(dāng)這5個(gè)數(shù)相等時(shí)，S取得最大值．
再由這5個(gè)數(shù)都是正整數(shù)，可得S取得最大值時(shí)，必有|x_i-x_j|≤1（ 1≤i＜j≤5），從而得到結(jié)論．
（ III）由x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=2012且|x_i-x_j|≤2，存在三種情況．分析可得，只有①x₁=401，x₂=402，x₃=x₄=x₅=403；或 ③x₁=x₂=x₃=x₄=402，
x₅=404時(shí)，S取得最小值．

解答：解：（ I）根據(jù) x₁+x₂=2012，利用均值不等式，可得當(dāng)x₁=x₂=1006時(shí)，S有最大值1006²．--------（2分）
（ II）當(dāng)x₁=x₂=x₃=402，x₄=x₅=403時(shí)，S取得最大值．------（4分）
由x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=2012，利用基本不等式可得當(dāng)這5個(gè)數(shù)相等時(shí)，S取得最大值．再由這5個(gè)數(shù)都是正整數(shù)，
可得S取得最大值時(shí)，必有|x_i-x_j|≤1（ 1≤i＜j≤5）．-----（8分）
因此當(dāng)x₁=x₂=x₃=402，x₄=x₅=403時(shí)，S取得最大值．
（ III）由x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=2012且|x_i-x_j|≤2，只有①x₁=401，x₂=402，x₃=x₄=x₅=403；
②x₁=x₂=x₃=402，x₄=x₅=403； ③x₁=x₂=x₃=x₄=402，x₅=404；三種情況．--------（11分）
而在②時(shí)，根據(jù)（2）知原式取得最大值；
在①時(shí)，設(shè)t=402，s=

1≤i＜j≤5

xi•xj=10t²+8t，
在③時(shí)，設(shè)t=402，s=

1≤i＜j≤5

xi•xj=10t²+8t．
因此在①③時(shí)S取得最小值．--------（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值不等式、基本不等式的應(yīng)用，求函數(shù)的最值，屬于中檔題．