Question

（2007•金山區(qū)一模）在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，且滿足

cosB

cosC

=-

b

2a+c

．
（1）求角B的度數(shù)；
（2）若b=

19

，a+c=5，求a和c的值．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理化簡(jiǎn)已知的等式，移項(xiàng)后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，根據(jù)sinA不為0，得出cosB的值，由B為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出B的度數(shù)；
（2）由第一問(wèn)求出的B的度數(shù)，得出cosB的值，利用余弦定理表示出b²，把b及cosB的值代入，配方后再把a(bǔ)+c的值代入可得出ac=6，與a+c=5聯(lián)立成方程組，求出方程組的解即可求出a與c的值．

解答：解：（1）已知的等式

cosB

cosC

=-

b

2a+c

，
由正弦定理得：

cosB

cosC

=-

sinB

2sinA+sinC

，（2分）
-sinBcosC=2cosBsinA+cosBsinC（3分）
sinBcosC+cosBsinC+2cosBsinA=0，
sin（B+C）+2cosBsinA=0，（4分）
sinA+2cosBsinA=0，（只要寫出本行，給5分）（5分）
因?yàn)閟inA≠0，
所以cosB=-

1

2

，所以B=120°；（7分）
（2）由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，（9分）
19=（a+c）²-2ac-2accos120°，所以ac=6，（11分）
由

a+c=5 ac=6

，
解得

a=2 c=3

或

a=3 c=2

．（缺一解，扣1分）（14分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．