Question

（Ⅰ）已知公差不為0的等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，前n項(xiàng)和為S_n，若數(shù)列是等差數(shù)列，
①求a_n；
②令（a＞0），若對(duì)一切n∈N*，都有，求q的取值范圍；
（Ⅱ）是否存在各項(xiàng)都是正整數(shù)的無窮數(shù)列{c_n}，使對(duì)一切n∈N*都成立？若存在，請(qǐng)寫出數(shù)列{c_n}的一個(gè)通項(xiàng)公式；若不存在，說明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）①設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
則，
因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20111214/20111214172554312955.gif">是等差數(shù)列，
所以，即，
解得d=0或d=1，
因?yàn)閐≠0，所以d=1，
此時(shí)，
即是等差數(shù)列，
所以a_n=n，；
②由①得，
所以，
因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20111214/201112141725544371022.gif">，
所以，所以；
（Ⅱ）假設(shè)存在各項(xiàng)都是正整數(shù)的無窮數(shù)列{c_n}，使對(duì)一切n∈N*都成立，
則，
所以，
所以，
若，則，
所以當(dāng)n∈N*時(shí)，，即，
因?yàn)閏_n∈N*，所以，
令c₁=M，
所以（c₂-c₁）+c₁≤-（M+1）+M=-1＜0，
與矛盾；
若，取N為的整數(shù)部分，
則當(dāng)n≥N時(shí)，，
所以，即，
因?yàn)閏_n∈N*，所以，
令c_N=M，
所以
≤-（M+1）+M=-1＜0，
與矛盾；
綜上，假設(shè)不成立，即不存在各項(xiàng)都是正整數(shù)的無窮數(shù)列{c_n}，使對(duì)一切n∈N*都成立。