如圖，已知△P1OP2的面積為，P為線段P1P2的一個三等分點，求以直線OP1、OP2為漸近線且過點P的離心率為的雙曲線方程.

雙曲線方程為=1


解析:

以O為原點，∠P1OP2的角平分線為x軸建立如圖的直角坐標系.

設雙曲線方程為=1(a＞0,b＞0)

由e2=，得.

∴兩漸近線OP1、OP2方程分別為y=x和y=－x

設點P1(x1, x1),P2(x2,－x2)(x1＞0,x2＞0),則由點P分所成的比λ==2,得P點坐標為(),又點P在雙曲線=1上，所以=1,

即(x1+2x2)2－(x1－2x2)2=9a2,整理得8x1x2=9a2           ①

即x1x2=                          ②

由①、②得a2=4,b2=9

故雙曲線方程為=1.

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