Question

已知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（-1，0）、B（1，0），動(dòng)點(diǎn)M滿足MA+MB=2

2

．
（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）若點(diǎn)C在（1）中的軌跡上，且滿足△ABC為直角三角形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）設(shè)經(jīng)過(guò)B點(diǎn)的直線l與（1）中的軌跡交于P、Q兩點(diǎn)，問(wèn)是否存在這樣的直線l使得△APQ為正三角形，若存在求出直線l的方程，若不存在說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意得到M點(diǎn)的軌跡為橢圓，求出b后直接寫出軌跡方程；
（2）分A，B為直角頂點(diǎn)或C為直角頂點(diǎn)分別求C的坐標(biāo)，當(dāng)C為直角頂點(diǎn)時(shí)，利用點(diǎn)在橢圓上及直角三角形斜邊的中線性質(zhì)列式求解；
（3）利用△PAQ為正三角形求出|AP|，設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)后借助于焦半徑公式可求P的坐標(biāo)，從而得到直線l的方程．

解答：解：（1）∵|MA|+|MB|=2

2

＞|AB|
∴M點(diǎn)的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸為2

2

的橢圓，
由a=

2

，c=1，得b=1，
∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為

x2

2

+y2=1；
（2）①以A、B為直角頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為：(±1，

2

2

)．
②以C為直角頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x₀，y₀），根據(jù)直角三角形的性質(zhì)知：
|OC|=

1

2

|AB|=c=1，即：

x02+y02=1 x02 2 +y02=1

，解之得：

x0=0 y0=-1

或

x0=0 y0=1

．
∴C（0，-1）或（0，1）；
（3）因?yàn)椤鱌AQ為正三角形，所以|AP|+|AQ|+|PQ|=3|AP|=4a=4

2

∴|AP|=

4 2

3

．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₁，y₁），軸橢圓的第二定義知：a+ex1=|AP|=

4 2

3

，即

2

+

2

2

x1=

4 2

3

所以：x1=

2

3

，y1=±

7

3

，
所以PQ的直線方程為：y=±

7

(x-1)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的方程，考查了直線方程的求法，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，訓(xùn)練了橢圓焦半徑公式的用法，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，是難題．