【題目】已知正實(shí)數(shù)a，b，c滿足a3+b3+c3＝1．

（Ⅰ）證明：a+b+c≥（a2+b2+c2）2；

（Ⅱ）證明：a2b+b2c+c2a≤1．

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見解析

【解析】

(Ⅰ)利用柯西不等式直接證明即可；

(Ⅱ)先利用立方和公式及基本不等式可得a3+b3≥a2b+ab2，b3+c3≥b2c+bc2，a3+c3≥a2c+ac2，進(jìn)而得2(a3+b3+c3)≥a2b+ab2+b2c+bc2+a2c+ac2，再由a3≥2a2b﹣ab2，b3≥2b2c﹣bc2，c3≥2c2a﹣ca2，進(jìn)而得

a3+b3+c3≥2(a2b+b2c+c2a)﹣ab2﹣bc2﹣ca2，進(jìn)而得到3(a3+b3+c3)≥3(a2b+b2c+c2a)，由此得證．

證明：(Ⅰ)∵a3+b3+c3＝1，

∴a+b+c＝(a+b+c)(a3+b3+c3)(a2+b2+c2)2，即得證．

(Ⅱ)a3+b3＝(a+b)(a2﹣ab+b2)≥(a+b)(2ab﹣ab)＝a2b+ab2，

同理b3+c3≥b2c+bc2，a3+c3≥a2c+ac2，

全部加起來得2(a3+b3+c3)≥a2b+ab2+b2c+bc2+a2c+ac2，①

又a2+b2≥2ab，故a3+ab2≥2a2b，則a3≥2a2b﹣ab2，

同理b3≥2b2c﹣bc2，c3≥2c2a﹣ca2，

全部加起來得a3+b3+c3≥2(a2b+b2c+c2a)﹣ab2﹣bc2﹣ca2，②

由①②得3(a3+b3+c3)≥3(a2b+b2c+c2a)，

即a2b+b2c+c2a≤a3+b3+c3＝1，即得證．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知定點(diǎn)S( -2，0) ，T(2，0)，動(dòng)點(diǎn)P為平面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線SP、TP的斜率之積為.

（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)B為軌跡E與y軸正半軸的交點(diǎn)，是否存在直線l，使得l交軌跡E于M，N兩點(diǎn)，且F(1，0)恰是△BMN的垂心?若存在，求l的方程;若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】紅鈴蟲（Pectinophora gossypiella）是棉花的主要害蟲之一，其產(chǎn)卵數(shù)與溫度有關(guān).現(xiàn)收集到一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y（個(gè)）和溫度x（℃）的8組觀測數(shù)據(jù)，制成圖1所示的散點(diǎn)圖.現(xiàn)用兩種模型①，②分別進(jìn)行擬合，由此得到相應(yīng)的回歸方程并進(jìn)行殘差分析，進(jìn)一步得到圖2所示的殘差圖.

根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，計(jì)算得到如下值：

25

2.89

646

168

422688

48.48

70308

表中；；；；

（1）根據(jù)殘差圖，比較模型①、②的擬合效果，應(yīng)選擇哪個(gè)模型？并說明理由；

（2）根據(jù)（1）中所選擇的模型，求出y關(guān)于x的回歸方程（系數(shù)精確到0.01），并求溫度為34℃時(shí)，產(chǎn)卵數(shù)y的預(yù)報(bào)值.

（參考數(shù)據(jù)：，，，）

附：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線E頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

（Ⅰ）求拋物線E的極坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）過點(diǎn)傾斜角為的直線l交E于M，N兩點(diǎn)，若，求.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某班級共有50名同學(xué)（男女各占一半），為弘揚(yáng)傳統(tǒng)文化，班委組織了“古詩詞男女對抗賽”，將同學(xué)隨機(jī)分成25組，每組男女同學(xué)各一名，每名同學(xué)均回答同樣的五個(gè)不同問題，答對一題得一分，答錯(cuò)或不答得零分，總分5分為滿分.最后25組同學(xué)得分如下表：

組別號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

男同學(xué)得分

5

4

5

5

4

5

5

4

4

4

5

5

4

女同學(xué)得分

4

3

4

5

5

5

4

5

5

5

5

3

5

分差

1

1

1

0

-1

0

1

-1

-1

-1

0

2

-1

組別號

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

男同學(xué)得分

4

3

4

4

4

4

5

5

5

4

3

3

女同學(xué)得分

5

3

4

5

4

3

5

5

3

4

5

5

分差

-1

0

0

-1

0

1

0

0

2

0

-2

-2

（I）完成列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為“該次對抗賽是否得滿分”與“同學(xué)性別”有關(guān)；

（Ⅱ）某課題研究小組假設(shè)各組男女同學(xué)分差服從正態(tài)分布，首先根據(jù)前20組男女同學(xué)的分差確定和，然后根據(jù)后面5組同學(xué)的分差來檢驗(yàn)?zāi)Ｐ�，檢驗(yàn)方法是：記后面5組男女同學(xué)分差與的差的絕對值分別為，若出現(xiàn)下列兩種情況之一，則不接受該模型，否則接受該模型.①存在；②記滿足的i的個(gè)數(shù)為k，在服從正態(tài)分布的總體（個(gè)體數(shù)無窮大）中任意取5個(gè)個(gè)體，其中落在區(qū)間內(nèi)的個(gè)體數(shù)大于或等于k的概率為P，.

試問該課題研究小組是否會(huì)接受該模型.

0.10

0.05

0.010

2.706

3.841

6.635

參考公式和數(shù)據(jù)：

，；若，有，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，平行四邊形ABCD中，，E、F分別為AD，BC的中點(diǎn)．以EF為折痕把四邊形EFCD折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)M的位置，點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)N的位置，且．

（1）求證：平面NEB；

（2）若，求二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】《中國制造2025》是經(jīng)國務(wù)院總理李克強(qiáng)簽批，由國務(wù)院于2015年5月印發(fā)的部署全面推進(jìn)實(shí)施制造強(qiáng)國的戰(zhàn)略文件，是中國實(shí)施制造強(qiáng)國戰(zhàn)略第一個(gè)十年的行動(dòng)綱領(lǐng)．制造業(yè)是國民經(jīng)濟(jì)的主體，是立國之本、興國之器、強(qiáng)國之基．發(fā)展制造業(yè)的基本方針為質(zhì)量為先，堅(jiān)持把質(zhì)量作為建設(shè)制造強(qiáng)國的生命線．某制造企業(yè)根據(jù)長期檢測結(jié)果，發(fā)現(xiàn)生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量與生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)的質(zhì)量差都服從正態(tài)分布N（μ，σ2），并把質(zhì)量差在（μ﹣σ，μ+σ）內(nèi)的產(chǎn)品為優(yōu)等品，質(zhì)量差在（μ+σ，μ+2σ）內(nèi)的產(chǎn)品為一等品，其余范圍內(nèi)的產(chǎn)品作為廢品處理．優(yōu)等品與一等品統(tǒng)稱為正品．現(xiàn)分別從該企業(yè)生產(chǎn)的正品中隨機(jī)抽取1000件，測得產(chǎn)品質(zhì)量差的樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求樣本平均數(shù)

（2）根據(jù)大量的產(chǎn)品檢測數(shù)據(jù)，檢查樣本數(shù)據(jù)的方差的近似值為100，用樣本平均數(shù)作為μ的近似值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計(jì)值，求該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品為正品的概率．（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）

[參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（μ，σ2），則：P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）≈0.9973．

（3）假如企業(yè)包裝時(shí)要求把3件優(yōu)等品球和5件一等品裝在同一個(gè)箱子中，質(zhì)檢員每次從箱子中摸出三件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，記摸出三件產(chǎn)品中優(yōu)等品球的件數(shù)為X，求X的分布列以及期望值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)滿足方程.

（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）作曲線關(guān)于軸對稱的曲線,記為,在曲線上任取一點(diǎn),過點(diǎn)作曲線的切線,若切線與曲線交于,兩點(diǎn),過點(diǎn),分別作曲線的切線,,證明：,的交點(diǎn)必在曲線上.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2019年，全國各地區(qū)堅(jiān)持穩(wěn)中求進(jìn)工作總基調(diào)，經(jīng)濟(jì)運(yùn)行總體平穩(wěn)，發(fā)展水平邁上新臺(tái)階，發(fā)展質(zhì)量穩(wěn)步上升，人民生活福祉持續(xù)增進(jìn)，全年最終消費(fèi)支出對國內(nèi)生產(chǎn)總值增長的貢獻(xiàn)率為57.8%.下圖為2019年居民消費(fèi)價(jià)格月度漲跌幅度：（同比(本期數(shù)-去年同期數(shù))/去年同期數(shù)，環(huán)比(本期數(shù)-上期數(shù))/上期數(shù)

下列結(jié)論中不正確的是（ ）

A.2019年第三季度的居民消費(fèi)價(jià)格一直都在增長

B.2018年7月份的居民消費(fèi)價(jià)格比同年8月份要低一些

C.2019年全年居民消費(fèi)價(jià)格比2018年漲了2.5%以上

D.2019年3月份的居民消費(fèi)價(jià)格全年最低

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