Question

如圖，圓錐的高PO＝4，底面半徑OB＝2，D為PO的中點(diǎn)，E為母線(xiàn)PB的中點(diǎn)，F為底面圓周上一點(diǎn)，滿(mǎn)足EF⊥DE.

(1)求異面直線(xiàn)EF與BD所成角的余弦值；

(2)求二面角OOFE的正弦值．

 

Answer 1

（1）（2）

【解析】(1)以O為原點(diǎn)，底面上過(guò)O點(diǎn)且垂直于OB的直線(xiàn)為x軸，OB所在的線(xiàn)為y軸，OP所在的線(xiàn)為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則

B(0，2，0)，P(0，0，4)，D(0，0，2)，E(0，1，2)．

設(shè)F(x0，y0，0)(x0>0，y0>0)，且＋＝4，

則＝(x0，y0－1，－2)，＝(0，1，0)，

∵EF⊥DE，即⊥，則·＝y0－1＝0，故y0＝1.

∴F(，1，0)，＝(，0，－2)，＝(0，－2，2)．

設(shè)異面直線(xiàn)EF與BD所成角為α，則cosα＝.

(2)設(shè)平面ODF的法向量為n1＝(x1，y1，z1)，則

令x1＝1，得y1＝－，平面ODF的一個(gè)法向量為n1＝(1，－，0)．

設(shè)平面DEF的法向量為n2＝(x2，y2，z2)，

同理可得平面DEF的一個(gè)法向量為n2＝.

設(shè)二面角ODFE的平面角為β，則|cosβ|＝＝.

∴sinβ＝.