Question

若函數(shù)在處取得極大值或極小值，則稱(chēng)為函數(shù)的極值點(diǎn)。已知是實(shí)數(shù)，1和是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)．
（1）求和的值；
（2）設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求的極值點(diǎn)；
（3）設(shè)，其中，求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

（1）
（2）的極值點(diǎn)是－2
（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有5 個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有9 個(gè)零點(diǎn)。

（1）求出的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)1和是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)代入列方程組求解即可。
（2）由（1）得，，求出，令，求解討論即可。
（3）比較復(fù)雜，先分和討論關(guān)于 的方程 根的情況；再考慮函數(shù)的零點(diǎn)
解：（1）由，得。
∵1和是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，
∴ ，，解得。
（2）∵ 由（1）得， ，
∴，解得。
∵當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
∴是的極值點(diǎn)。
∵當(dāng)或時(shí)，，∴ 不是的極值點(diǎn)。
∴的極值點(diǎn)是－2。
（3）令，則。
先討論關(guān)于 的方程 根的情況：
當(dāng)時(shí)，由（2 ）可知，的兩個(gè)不同的根為I 和一2 ，注意到是奇函數(shù)，∴的兩個(gè)不同的根為一和2。
當(dāng)時(shí)，∵， ，
∴一2 , －1，1 ，2 都不是的根。
由（1）知。
① 當(dāng)時(shí)， ，于是是單調(diào)增函數(shù)，從而。
此時(shí)在無(wú)實(shí)根。
② 當(dāng)時(shí)．，于是是單調(diào)增函數(shù)。
又∵，，的圖象不間斷，
∴ 在（1 , 2 ）內(nèi)有唯一實(shí)根。
同理，在（一2 ，一I ）內(nèi)有唯一實(shí)根。
③ 當(dāng)時(shí)，，于是是單調(diào)減兩數(shù)。
又∵， ，的圖象不間斷，
∴在（一1，1 ）內(nèi)有唯一實(shí)根。
因此，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不同的根滿(mǎn)足；當(dāng) 時(shí)
有三個(gè)不同的根，滿(mǎn)足。
現(xiàn)考慮函數(shù)的零點(diǎn)：
( i ）當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)根，滿(mǎn)足。
而有三個(gè)不同的根，有兩個(gè)不同的根，故有5 個(gè)零點(diǎn)。
( 11 ）當(dāng)時(shí)，有三個(gè)不同的根，滿(mǎn)足。
而有三個(gè)不同的根，故有9 個(gè)零點(diǎn)。
綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有5 個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有9 個(gè)零點(diǎn)
【考點(diǎn)定位】本題綜合考查導(dǎo)數(shù)的定義、計(jì)算及其在求解函數(shù)極值和最值中的應(yīng)用，考查較全面系統(tǒng)，要注意變形的等價(jià)性和函數(shù)零點(diǎn)的認(rèn)識(shí)、極值和極值點(diǎn)的理解。本題主要考查數(shù)形結(jié)合思想和分類(lèi)討論思想，屬于中高檔試題，難度中等偏上，考查知識(shí)比較綜合，全方位考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，運(yùn)算量比較大。