Question

考慮坐標平面上以O（0，0），A（3，0），B（0，4）為頂點的三角形，令C₁，C₂分別為△OAB的外接圓、內切圓．請問下列哪些選項是正確的？
（1）C₁的半徑為2
（2）C₁的圓心在直線y=x上
（3）C₁的圓心在直線4x+3y=12上
（4）C₂的圓心在直線y=x上
（5）C₂的圓心在直線4x+3y=6上．

Answer 1

O，A，B三點的位置如右圖所示，C₁，C₂為△OAB的外接圓與內切圓，
∵△OAB為直角三角形，
∴C₁為以線段AB為直徑的圓，故半徑為

1

2

|AB|=

5

2

，
所以（1）選項錯誤；
又C₁的圓心為線段AB的中點(

3

2

，2)，此點在直線4x+3y=12上，
所以選項（2）錯誤，選項（3）正確；
如圖，P為△OAB的內切圓C₂的圓心，
故P到△OAB的三邊距離相等均為圓C₂的半徑r．
連接PA，PB，PC，可得：S_△OAB=S_△POA+S_△PAB+S_△POB
?

1

2

×3×4=

1

2

×3×r+

1

2

×5×r+

1

2

×4×r?r=1
故P的坐標為（1，1），此點在y=x上．
所以選項（4）正確，選項（5）錯誤，
綜上，正確的選項有（3）、（4）．