Question

下列命題：
①動點M到兩定點A、B的距離之比為常數(shù)λ（λ＞0且λ≠1），則動點M的軌跡是圓；
②橢圓

x2

2b2

+

y2

b2

=1的離心率是

2

2

；
③雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的焦點到漸近線的距離是b；
④已知拋物線y²=2px上兩點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），且OA⊥OB（O是坐標原點），則y₁y₂=-p²．
其中正確命題的序號是

①②③

．

Answer 1

分析：對于①，通過建立坐標系，求出動點的軌跡方程判斷出①正確；對于②，利用橢圓中三個參數(shù)的關(guān)系判斷出②正確；對于③，根據(jù)雙曲線的方程求出焦點坐標和漸近線方程，利用點到直線的距離公式判斷出③正確；對于④，利用直線和拋物線的位置關(guān)系判斷．

解答：解：對于①，以AB所在的直線為x軸，AB的中垂線為y軸建立坐標系，設(shè)M（x，y），A（-a，0），B（a，0），則有

(x+a)2+y2

(x-a)2+y2

=λ，
化簡得（1-λ²）x²+（1-λ²）y²+（2a+2aλ²）x+a²-a²λ²=0，所以動點M的軌跡是圓，①正確；
對于②，e=

c

a

=

1- b2 2b2

=

2

2

，②正確；
對于③，雙曲線（a＞b＞0）的焦點坐標為（±c，0），漸近線的方程為：y=±x，根據(jù)點到直線的距離公式得到距離d═b．所以③正確；
對于④，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是拋物線y²=2px（p＞0）上的兩點，并且滿足OA⊥OB．
∴k_OA•k_OB=-1，∴x₁x₂+y₁y₂=0，則

(y1y2)2

4p2

+y1y2=0，解得y₁y₂=-4p²，所以④錯誤．
故答案為：①②③．

點評：本題考查利用曲線的方程判斷曲線的形狀；考查橢圓中三個參數(shù)的關(guān)系；考查雙曲線中漸近線的方程，屬于一道綜合題．