Question

有甲、乙兩個(gè)班級(jí)進(jìn)行數(shù)學(xué)考試，按照大于或等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計(jì)成績(jī)后，得到如下的2×2列聯(lián)表：已知從全部210人中隨機(jī)抽取1人為優(yōu)秀的概率為

2

7

．
（Ⅰ）請(qǐng)完成下面的2×2列聯(lián)表，并判斷若按99%的可靠性要求，能否認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)”；
（Ⅱ）從全部210人中有放回抽取3次，每次抽取1人，記被抽取的3人中的優(yōu)秀人數(shù)為ξ，若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ．

	優(yōu)秀	非優(yōu)秀	總計(jì)
甲班	20
乙班		60
合計(jì)			210

附：x²=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P=（x2≥k）	0.05	0.01
k	3.841	6.635

Answer 1

分析：（I）假設(shè)H₀：“成績(jī)與班級(jí)無(wú)關(guān)”．由于從全部210人中隨機(jī)抽取1人為優(yōu)秀的概率為

2

7

，可得優(yōu)秀的人數(shù)=210×

2

7

．即可得到乙班優(yōu)秀的人數(shù)，甲班非優(yōu)秀的人數(shù)，利用K²=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

計(jì)算出K²與6.635比較即可得出結(jié)論．
（II）由題意可知：ξ～B（3，

2

7

），即可得出其分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答：解：（I）假設(shè)H₀：“成績(jī)與班級(jí)無(wú)關(guān)”．
∵從全部210人中隨機(jī)抽取1人為優(yōu)秀的概率為

2

7

，
∴優(yōu)秀的人數(shù)=210×

2

7

=60．
∴乙班優(yōu)秀的人數(shù)=60-20=40，
甲班非優(yōu)秀的人數(shù)=210-60-60=90．
∴K²=

210×(20×60-40×90)2

(20+90)×(40+60)×(20+40)×(90+60)

=12.218＞6.635，
∴P（K²≥6.635）≈0.01．
因此假設(shè)不成立．
故認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)”；
（II）由題意可知：ξ～B（3，

2

7

）．
∴P（ξ=i）=

C

i 3

(

2

7

)i(

5

7

)3-i（i=0，1，2，3）．
∴Eξ=3×

2

7

=

6

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)、二項(xiàng)分布列及其數(shù)學(xué)期望，屬于中檔題．