Question

設(shè)函數(shù)f（x）＝＋ax－lnx（a∈R）．

（Ⅰ）當a＝1時，求函數(shù)f（x）的極值；

（Ⅱ）當a≥2時，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；

（Ⅲ）若對任意及任意，∈[1，2]，恒有成立，求實數(shù)m的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ），無極大值;（Ⅱ）當時，單調(diào)遞減 ，當時，單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（Ⅲ）．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）當時，求函數(shù)的極值,只需對函數(shù)求導,求出導數(shù)等零點,及在零點兩邊的單調(diào)性,注意, 求函數(shù)的極值不要忽略求函數(shù)的定義域;（Ⅱ）討論函數(shù)的單調(diào)性,只需判斷的導數(shù)在區(qū)間上的符號,因此,此題先求導,在判斷符號時,發(fā)現(xiàn)參數(shù)的取值對有影響,需對參數(shù)討論,分,與兩種情況,從而確定單調(diào)區(qū)間;（Ⅲ）對任意及任意，∈[1，2]，恒有成立，只需求出的最大值即可.

試題解析：（Ⅰ）函數(shù)的定義域為，當時， 令，當時，；當時，，單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，無極大值 ；

（Ⅱ）

，，①當即時，上是減函數(shù)，②當，即時，令，得,令，得

綜上，當時，單調(diào)遞減 ，當時，單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當時，上單調(diào)遞減，當時，有最大值，當時，有最小值，， ，

而經(jīng)整理得 ．

考點：函數(shù)與導數(shù)，導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、導數(shù)與函數(shù)的極值，導數(shù)與不等式的綜合應用，考查學生的基本推理能力，考查學生的基本運算能力以及轉(zhuǎn)化與化歸的能力.