Question

設(shè)G是△ABC的重心，且，則B的大小為

1. A.
   15°
2. B.
   30°
3. C.
   45°
4. D.
   60°

Answer 1

D
分析：設(shè)出三角形的三邊分別為a，b，c，根據(jù)正弦定理把已知的等式化簡(jiǎn)，然后由G為三角形的重心，根據(jù)中線的性質(zhì)及向量的加法法則分別表示出，和，代入化簡(jiǎn)后的式子中，然后又根據(jù)等于加，把上式進(jìn)行化簡(jiǎn)，最后得到關(guān)于和的關(guān)系式，由和為非零向量，得到兩向量前的系數(shù)等于0，列出關(guān)于a，b及c的方程組，不妨令c=56，即可求出a與b的值，然后根據(jù)余弦定理表示出cosB，把a(bǔ)，b，c的值代入即可求出cosB的值，由B的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可得到B的度數(shù)．
解答：因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/133088.png' />
設(shè)三角形的邊長(zhǎng)順次為a，b，c，根據(jù)正弦定理得：
56a+40b+35=，
由點(diǎn)G為三角形的重心，根據(jù)中線的性質(zhì)及向量加法法則得：
3=+，3=+，3=+，
代入上式得：56a（+）+40b（+）+35c（+）=，
又=+，上式可化為：
56a（2+）+40b（+）+35c（-+2）=，
即（112a-40b-35c）+（-56a-40b+70c）=，
則有，
①-②得：168a=105c，即a：c=35：56，
設(shè)a=35k，c=56k，代入①得到b=49k，
所以cosB===，又B∈（0，180°），
則B=60°．
故選D
點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用正弦、余弦定理化簡(jiǎn)求值，掌握向量的加法法則及中線的性質(zhì)，是一道中檔題．