Question

若曲線y=1+

4-x2

，x∈[-2，2]與直線y=k（x-2）+4有兩個不同的公共點，則實數(shù)k的取值范圍是

（

5

12

，

3

4

]

．

Answer 1

分析：先將曲線進行化簡得到一個圓心是（0，1）的上半圓，直線y=k（x-2）+4表示過定點（2，4）的直線，利用直線與圓的位置關(guān)系可以求實數(shù)k的取值范圍．

解答：解：因為y=1+

4-x2

，所以x²+（y-1）²=4，此時表示為圓心M（0，1），半徑r=2的圓．
因為x∈[-2，2]，y=1+

4-x2

≥1，所以表示為圓的上部分．
直線y=k（x-2）+4表示過定點P（2，4）的直線，
當直線與圓相切時，有圓心到直線kx-y+4-2k=0的距離d=

|3-2k|

k2+1

=2，解得k=

5

12

．
當直線經(jīng)過點B（-2，1）時，直線PB的斜率為k=

1-4

-2-2

=

3

4

．
所以要使直線與曲線有兩個不同的公共點，則必有

5

12

＜k≤

3

4

．
即實數(shù)k的取值范圍是（

5

12

，

3

4

]．
故答案為：（

5

12

，

3

4

]．

點評：本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用以及直線的斜率和距離公式．利用數(shù)形結(jié)合思想是解決本題的關(guān)鍵．同時要注意曲線化簡之后是個半圓，而不是整圓，這點要注意，防止出錯．