Question

已知函數(shù)f（x）=ax+lnx，a∈R．
（1）討論y=f（x）的單調(diào)性；（2）若定義在區(qū)間D上的函數(shù)y=g（x）對(duì)于區(qū)間D上的任意兩個(gè)值x₁、x₂總有不等式

1

2

[g(x1)+g(x2)]≥g(

x1+x2

2

)成立，則稱(chēng)函數(shù)y=g（x）為區(qū)間D上的“凹函數(shù)”．
試證明：當(dāng)a=-1時(shí)，g(x)=|f(x)|+

1

x

為“凹函數(shù)”．

Answer 1

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，應(yīng)注意函數(shù)的定義域，同時(shí)進(jìn)行合理分類(lèi)；（2）新定義關(guān)鍵是理解“凹函數(shù)”的定義，然后驗(yàn)證所求函數(shù)滿(mǎn)足新定義．

解答：解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f（x）=lnx在（0，+∞）上是增函數(shù)；     …（1分）
由已知，x∈（0，+∞），f′(x)=a+

1

x

=

ax+1

x

，…（3分）
當(dāng)a＞0時(shí)，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；      …（4分）
當(dāng)a＜0時(shí)，解f′(x)=

ax+1

x

＞0得0＜x＜-

1

a

，解f'（x）＜0得x＞-

1

a

，
所以函數(shù)f（x）在(0 ， -

1

a

)上是增函數(shù)，在(-

1

a

 ， +∞)上是減函數(shù)．…（5分）
綜上，當(dāng)a≥0時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在(0 ， -

1

a

)上是增函數(shù)，在(-

1

a

 ， +∞)上是減函數(shù)．
（2）當(dāng)a=-1時(shí)，由（1）知f（x）在（0，+∞）上的最大值為f（1）=-1，即f（x）＜0恒成立．
所以g(x)=|f(x)|+

1

x

=-f(x)+

1

x

=

1

x

+x-lnx，x∈（0，+∞）．…（6分）
設(shè)x₁，x₂∈（0，+∞），
計(jì)算

1

2

[g(x1)+g(x2)]=

1

2

(

1

x1

+x1-lnx1+

1

x2

+x2-lnx2)=

x1+x2

2x1x2

+

x1+x2

2

-ln

x1x2

，g(

x1+x2

2

)=

2

x1+x2

+

x1+x2

2

-ln

x1+x2

2

，
因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

x1+x2

2

≥

x1x2

，所以ln

x1+x2

2

≥ln

x1x2

，-ln

x1+x2

2

≤-ln

x1x2

，…（8分）

2

x1+x2

-

x1+x2

2x1x2

=

4x1x2-(x1+x2)2

2x1x2(x1+x2)

=

-(x1-x2)2

2x1x2(x1+x2)

≤0，所以

2

x1+x2

≤

x1+x2

2x1x2

，…（10分）
所以

1

2

[g(x1)+g(x2)]≥g(

x1+x2

2

)，即當(dāng)a=-1時(shí)，g(x)=|f(x)|+

1

x

為“凹函數(shù)”．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道創(chuàng)新型題，屬于難度系數(shù)較大的題目．近幾年的高考命題，由知識(shí)立意向能力立意轉(zhuǎn)化，強(qiáng)化創(chuàng)新意識(shí)的考查，設(shè)計(jì)了一些“對(duì)新穎的信息、情景和設(shè)問(wèn)，選擇有效的方法和手段收集信息，綜合與靈活地應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法，進(jìn)行獨(dú)立思考、探索和研究，提出解決問(wèn)題的思路，創(chuàng)造性的解決問(wèn)題”的創(chuàng)新題．