分析 (1)先求出導(dǎo)函數(shù)進而求出切線的斜率,再把1,2代入就可求出求x1、x2的值.求出點Pn的切線ln的方程即可求出及數(shù)列{xn}的通項公式;
(2)直接利用定積分來求Sn的表達式即可;
(3)利用(2)的結(jié)論先求出數(shù)列{Sn}的前n項之和為Tn,再把所要證明的結(jié)論轉(zhuǎn)化為用數(shù)學(xué)歸納法證明en+1>(e-1)n+e即可
解答 (1)解:由y′=ex,設(shè)直線ln的斜率為kn,則kn=exn.
∴直線l0的方程為y=x+1.令y=0,得x1=-1,
∴y1=ex1=1e,
∴P1(-1,1e).
∴k1=ex1=1e.
∴直線l的方程為y-1e=1e(x+1).
令y=0,得x2=-2.
一般地,直線l的方程為y-exn=exn(x-xn),由于點Qn+1(xn+1,0)在直線l上,
∴xn+1-xn=-1.
∴數(shù)列{xn}是首項為-1,公差為-1的等差數(shù)列.
∴xn=-n.
(2)解:Sn=∫nn+1exdx-12(xn-xn+1)yn=ex=∫nn+1-12yn=(e-n-e-n-1)-12e-n=e−22e•1en.
(3)證明:Tn=e−22e•(1e1+1e2+…+1en)=e−22e•1e[1−(1e)n]1−1e=e−22e(e−2)•(1-1en),
∴Tn+1Tn=1−1en+11−1en=1+e−1en+1−e,xn+1xn=−(n+1)−n=1+1n.
要證明Tn+1Tn<xn+1xn,只要證明e−1en+1−e<1n,即只要證明en+1>(e-1)n+e.
證法1:(數(shù)學(xué)歸納法)
①當(dāng)n=1時,顯然(e-1)2>0?e2>2e-1?e2>(e-1)+e成立;
②假設(shè)n=k時,ek+1>(e-1)k+e成立,則當(dāng)n=k+1時,ek+2=e•ek+1>e[(e-1)k+e],
而e[(e-1)k+e]-[(e-1)(k+1)+e]=(e-1)2(k+1)>0,.
∴e[(e-1)k+e]>[(e-1)(k+1)+e].
∴ek+2>[(e-1)(k+1)+e.
這說明,n=k+1時,不等式也成立.
由①②知不等式Tn+1Tn<xn+1xn對一切n∈N+都成立.
證法2:en+1=[1+(e-1)]n+1=C0n+1+C1n+1(e-1)+…+Cn+1n+1(e-1)]n+1>C0n+1+C1n+1(e-1)=1+(n+1)(e-1)=(e-1)n+e.
∴不等式Tn+1Tn<xn+1xn對一切n∈N+都成立.
證法3:令f(x)=ex+1-(e-1)x-e,則f′(x)=ex+1-(e-1),
當(dāng)x>0時,f′(x)=ex+1-(e-1)>e-(e-1)=1>0,
∴函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.
∴當(dāng)x>0時,f(x)>f(0)=0.
∵n∈N+,
∴f(n)>0,即en+1-(e-1)n-e>0.
∴en+1>(e-1)n+e.
∴不等式Tn+1Tn<xn+1xn對一切n∈N+都成立.
點評 主要考查導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、不等式、定積分等知識,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,以及抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和創(chuàng)新意識.
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