Question

某人在國慶節(jié)那天，上午7時(shí)，乘摩托艇以勻速v（4≤v≤20）海里/小時(shí)從A港出發(fā)到距50海里的B港去，然后乘汽車以速度w（30，≤w≤100）公里/小時(shí)自B港向距300公里 的C市駛?cè)�，打算在同一天下�?6點(diǎn)至晚上21點(diǎn)到達(dá)C市．設(shè)汽車、摩托艇所需要的時(shí)間分別是x小時(shí)，y小時(shí)．
（Ⅰ）確定x，y應(yīng)滿足的線性約束條件．
（Ⅱ）如果已知所用的經(jīng)費(fèi)P=100+3（5-x）+2（8-y）（元），那么v，w分別是多少時(shí)走得最經(jīng)濟(jì)？此時(shí)需要花費(fèi)多少元？

Answer 1

分析：（Ⅰ）分析題意，找出相關(guān)量之間的不等關(guān)系，即x，y滿足的約束條件；
（Ⅱ）由約束條件畫出可行域，要求走得最經(jīng)濟(jì)，即求可行域中的最優(yōu)解，將目標(biāo)函數(shù)看成是一條直線，分析目標(biāo)函數(shù)Z與直線截距的關(guān)系，進(jìn)而求出最優(yōu)解．

解答：解：（Ⅰ）依題意得v=

50

y

，w=

300

x

，4≤v≤20，30≤w≤100．
∴3≤x≤10，

5

2

≤y≤

25

2

．
由于乘汽車、摩托艇所需的時(shí)間和x+y應(yīng)在9至14個(gè)小時(shí)之間，即9≤x+y≤14．
∴x，y應(yīng)滿足的線性約束條件為

3≤x≤10 5 2 ≤y≤ 25 2 9≤x+y≤14

；
（Ⅱ）線性約束條件為

3≤x≤10 5 2 ≤y≤ 25 2 9≤x+y≤14

是圖中陰影部分（包括邊界）．
∵p=100+3•（5-x）+2•（8-y），
∴3x+2y=131-p．
設(shè)131-p=k，那么當(dāng)k最大時(shí)，p最�。�
在通過圖中的陰影部分區(qū)域（包括邊界）且斜率為-

3

2

的直線3x+2y=k中，
使k值最大的直線必通過點(diǎn)（10，4），即當(dāng)x=10，y=4時(shí)，p最�。�
此時(shí)，v=12.5，w=30，p的最小值為93元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式關(guān)系的建立，考查線性規(guī)劃知識(shí)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．