Question

某校高三2班有48名學(xué)生進(jìn)行了一場投籃測試，其中男生28人，女生20人．為了了解其投籃成績，甲、乙兩人分別對全班的學(xué)生進(jìn)行編號（1~48號），并以不同的方法進(jìn)行數(shù)據(jù)抽樣，其中一人用的是系統(tǒng)抽樣，另一人用的是分層抽樣．若此次投籃考試的成績大于或等于80分視為優(yōu)秀，小于80分視為不優(yōu)秀，以下是甲、乙兩人分別抽取的樣本數(shù)據(jù)：

                                                                

（Ⅰ）從甲抽取的樣本數(shù)據(jù)中任取兩名同學(xué)的投籃成績，記“抽到投籃成績優(yōu)秀”的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（Ⅱ）請你根據(jù)乙抽取的樣本數(shù)據(jù)完成下列2×2列聯(lián)表，判斷是否有95%以上的把握認(rèn)為投籃成績和性別有關(guān)？

（Ⅲ）判斷甲、乙各用何種抽樣方法，并根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)論判斷哪種抽樣方法更優(yōu)？說明理由.

下面的臨界值表供參考：

	0.15	0.10	0.05	0.010	0.005	0.001
	2.072	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

（參考公式：，其中）

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）的分布列為

                                   

．

（Ⅱ）列聯(lián)表：

	優(yōu)秀	非優(yōu)秀	合計(jì)
男	6	1	7
女	1	4	5
合計(jì)	7	5	12

有95%以上的把握認(rèn)為投籃成績與性別有關(guān)． 

（Ⅲ）甲用的是系統(tǒng)抽樣，乙用的是分層抽樣．投籃成績與性別有關(guān)，并且從樣本數(shù)據(jù)能看出投籃成績與性別有明顯差異，因此采用分層抽樣方法比系統(tǒng)抽樣方法更優(yōu)．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由“抽到投籃成績優(yōu)秀”的人數(shù)為X，其所有可能取值為．

計(jì)算可得相應(yīng)概率，得到的分布列為

 

計(jì)算得到數(shù)學(xué)期望．

（Ⅱ）由乙抽取的樣本數(shù)據(jù)，得到列聯(lián)表，應(yīng)用“卡方公式”計(jì)算“卡方”并與臨界值表對照，得出結(jié)論.

（Ⅲ）對照系統(tǒng)抽樣、分層抽樣的定義．確定抽樣方法，由（Ⅱ）的結(jié)論，并且從樣本數(shù)據(jù)能看出投籃成績與性別有明顯差異，得到結(jié)論.

試題解析：（Ⅰ）由甲抽取的樣本數(shù)據(jù)可知，投籃成績優(yōu)秀的有7人，投籃成績不優(yōu)秀的有5人．

X的所有可能取值為．                    1分

所以，，． 4分

故的分布列為

                                                       5分

∴．      6分

（Ⅱ）設(shè)投籃成績與性別無關(guān)，由乙抽取的樣本數(shù)據(jù)，得列聯(lián)表如下：

	優(yōu)秀	非優(yōu)秀	合計(jì)
男	6	1	7
女	1	4	5
合計(jì)	7	5	12

    7分

的觀測值3.841，           9分

 所以有95%以上的把握認(rèn)為投籃成績與性別有關(guān)．                10分

（Ⅲ）甲用的是系統(tǒng)抽樣，乙用的是分層抽樣．            11分

由（Ⅱ）的結(jié)論知，投籃成績與性別有關(guān)，并且從樣本數(shù)據(jù)能看出投籃成績與性別有明顯差異，因此采用分層抽樣方法比系統(tǒng)抽樣方法更優(yōu)．          13分

考點(diǎn)：1、隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望，2、抽樣方法， 3、“卡方公式”的應(yīng)用.