Question

（本小題滿分13分）某市“環(huán)保提案”對(duì)某處的環(huán)境狀況進(jìn)行了實(shí)地調(diào)研，據(jù)測(cè)定，該處的污染指數(shù)與附近污染源的強(qiáng)度成正比，與到污染源的距離成反比，比例常數(shù)為.現(xiàn)已知相距的，兩家化工廠(污染源)的污染強(qiáng)度分別為正數(shù),，它們連線上任意一點(diǎn)C處的污染指數(shù)等于兩化工廠對(duì)該處的污染指數(shù)之和.設(shè).

 (1) 試將表示為的函數(shù)；

 (2) 若時(shí),在處取得最小值，試求的值.

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）

【解析】

試題分析：（1）設(shè)點(diǎn)C受A污染源污染指數(shù)為，

點(diǎn)C受B污染源污染指數(shù)為，

其中k為比例系數(shù)，且k＞0,

從而點(diǎn)C處污染指數(shù).                          ……5分

（2） 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013040110295831255824/SYS201304011030434062804871_DA.files/image005.png">，所以，，=，

令=0，得，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增.

∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，又此時(shí)，解得，

經(jīng)驗(yàn)證符合題意.

所以，污染源B的污染強(qiáng)度的值為.                             ……13分

考點(diǎn)：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求解實(shí)際問(wèn)題中的最值問(wèn)題，考查了學(xué)生從實(shí)際問(wèn)題向數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化的能力和分類討論思想的應(yīng)用以及運(yùn)算求解能力.

點(diǎn)評(píng)：從實(shí)際問(wèn)題中抽象數(shù)學(xué)模型時(shí)，一定不要忘記函數(shù)的實(shí)際定義域，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，要把單調(diào)性說(shuō)清楚，必要時(shí)可以畫表格輔助說(shuō)明.