【題目】如圖,直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠BAD=90°,AB=AD=1,CD=2,若將△BCD沿著BD折起至△BC'D,使得AD⊥BC'.
(1)求證:平面C'BD⊥平面ABD;
(2)求C'D與平面ABC'所成角的正弦值;
(3)M為BD中點(diǎn),求二面角M﹣AC'﹣B的余弦值.
【答案】(1)見解析(2);(3).
【解析】
(1)先證明、,再利用面面垂直的判定即可得證;
(2)先證明面,再求即可得解;
(3)建立空間坐標(biāo)系,分別求出兩面的法向量即可得解.
(1)過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn),得,,∴,
又,∴,∴,∴,
又,且,平面,
∴平面,又平面,∴平面⊥平面;
(2)由(1)平面,可知:平面⊥平面,
又,平面平面,
∴面,∴與平面所成角為,
由(1)平面可知:,∴,∴,
∴,即與平面所成角的正弦值為;
(3)以為原點(diǎn),、所在直線分別為軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,由(1)可知,
,,,,
又為的中點(diǎn),∴,
∴,,,
∴平面的一個(gè)法向量,
平面的一個(gè)法向量,
∴,
由圖可知二面角的大小為銳角,
∴二面角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的一元二次函數(shù)f(x)=ax2﹣2bx+8.
(1)設(shè)集合P={1,2,3}和Q={2,3,4,5},分別從集合P和Q中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為a和b,求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(﹣∞,2]上有零點(diǎn)且為減函數(shù)的概率?
(2)設(shè)集合P=[1,3]和Q[2,5],分別從集合P和Q中隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)作為a和b,求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(﹣∞,2]上有零點(diǎn)且為減函數(shù)的概率?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C:1(a>b>0),橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為9,最小值為1.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求橢圓C上的點(diǎn)到直線l:4x﹣5y+40=0的最小距離?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校為了了解學(xué)生對消防知識(shí)的了解情況,從高一年級和高二年級各選取100名同學(xué)進(jìn)行消防知識(shí)競賽.下圖(1)和圖(2)分別是對高一年級和高二年級參加競賽的學(xué)生成績按分組,得到的頻率分布直方圖.
(1)請計(jì)算高一年級和高二年級成績小于60分的人數(shù);
(2)完成下面列聯(lián)表,并回答:有多大的把握可以認(rèn)為“學(xué)生所在的年級與消防常識(shí)的了解存在相關(guān)性”?
成績小于60分人數(shù) | 成績不小于60分人數(shù) | 合計(jì) | |
高一 | |||
高二 | |||
合計(jì) |
附:臨界值表及參考公式:.
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在中,邊,,所在直線的方程分別為,,.
(1)求邊上的高所在的直線方程;
(2)若圓過直線上一點(diǎn)及點(diǎn),當(dāng)圓面積最小時(shí),求其標(biāo)準(zhǔn)方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率,過焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線被橢圓截得的線段長為3
(1)求橢圓的方程;
(2)已知P為直角坐標(biāo)平面內(nèi)一定點(diǎn),動(dòng)直線l:與橢圓交于A、B兩點(diǎn),當(dāng)直線PA與直線PB的斜率均存在時(shí),若直線PA與PB的斜率之和為與t無關(guān)的常數(shù),求出所有滿足條件的定點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司近年來科研費(fèi)用支出萬元與公司所獲得利潤萬元之間有如下的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù):
x | 2 | 3 | 4 | 5 |
Y | 18 | 27 | 32 | 35 |
(1)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程;
(2)試根據(jù)(1)求出的線性回歸方程,預(yù)測該公司科研費(fèi)用支出為10萬元時(shí)公司所獲得的利潤.
參考公式:用最小二乘法求線性回歸方程的系數(shù)公式:
參考數(shù)據(jù):2×18+3×27+4×32+5×35=420
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為,長軸長為4,離心率為.過右焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)(均不與重合),記直線的斜率分別為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)是否存在常數(shù),當(dāng)直線變動(dòng)時(shí),總有成立?若存在,求出的值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在多面體中,四邊形和都是直角梯形,,,,,,,是的中點(diǎn)。
(1)求證:;
(2)已知是的中點(diǎn),求證:;
(3)求直線與平面所成角的大小。
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