Question

已知數(shù)列{a_n}的前項(xiàng)和Sn=n2+2n；
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式a_n；
（2）設(shè)Tn=

1

a1a

2+

1

a2a

3+

1

a3a4

+…+

1

anan+1

，求T_n．

Answer 1

分析：（1）數(shù)列的前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)之間的關(guān)系，當(dāng)n≥2時(shí)a_n=S_n-S_n-1，當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁，由此求得數(shù)列的通項(xiàng)公式a_n．
（2）根據(jù)通項(xiàng)

1

anan+1

=

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

(

1

2n+1

-

1

2n+3

)，由此利用裂項(xiàng)法對(duì)數(shù)列進(jìn)行求和．

解答：解：（1）當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=n2+2n-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1①． …（4分）
當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=12+2×1=3，也滿足①式…（6分）
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為  a_n=2n+1．（7分）
（2）

1

anan+1

=

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

(

1

2n+1

-

1

2n+3

)…（10分）
Tn=

1

2

(

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+

1

7

-

1

9

+…

1

2n+1

-

1

2n+3

)=

1

2

(

1

3

-

1

2n+3

)=

n

3(2n+3)

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列的前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)之間的關(guān)系，用裂項(xiàng)法對(duì)數(shù)列進(jìn)行求和，屬于中檔題．