Question

已知雙曲線的兩條漸近線方程為直線l1：y=-

x

2

和l2：y=

x

2

，焦點在y軸上，實軸長為2

3

，O為坐標原點．
（1）求雙曲線方程；
（2）設(shè)P₁，P₂分別是直線l₁和l₂上的點，點M在雙曲線上，且

P1M

=2

MP2

，求三角形P₁OP₂的面積．

Answer 1

分析：（1）先依題意可設(shè)雙曲線方程，利用實軸長為2

3

，求得參數(shù)，從而寫出雙曲線方程；
（2）設(shè)P₁（-2y₁，y₁），P₂（2y₂，y₂）和點M（x₀，y₀）利用向量條件以及M在雙曲線上得到三點的坐標之間的關(guān)系式，整理得y1y2=

27

8

，又直線P₁P₂的方程為

y-y1

y2-y1

=

x+2y1

2y2+2y1

令x=0得y=

2y1y2

y1+y2

最后利用三角形面積公式求三角形P₁OP₂的面積即得．

解答：解：（1）依題意可設(shè)雙曲線方程為：y2-

x2

4

=λ(λ＞0)即

y2

λ

-

x2

4λ

=1
則2

λ

=2

3

∴λ=3∴雙曲線方程為

y2

3

-

x2

12

=1…（5分）
（2）設(shè)P₁（-2y₁，y₁），P₂（2y₂，y₂）和點M（x₀，y₀）∵

P1M

=2

MP2

∴

x0= -2y1+4y2 3 y0= y1+2y2 3

又∵M在雙曲線上∴

y

2 0

-

x 2 0

4

=3∴(

y1+2y2

3

)2-

1

4

(

-2y1+4y2

3

)2=3整理得y1y2=

27

8

…（9分）
又直線P₁P₂的方程為

y-y1

y2-y1

=

x+2y1

2y2+2y1

令x=0得y=

2y1y2

y1+y2

∴S△P1OP2=

1

2

•|

2y1y2

y1+y2

|•|(2y2+2y1)|=2|y1y2|=

27

4

…（13分）

點評：本小題主要考查雙曲線的標準方程、雙曲線的簡單性質(zhì)、直線與圓錐曲線的綜合問題等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．