已知A，B是雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的兩個頂點，P為雙曲線上（除頂點外）的一點，若直線PA，PB的斜率乘積為
1
2
，則雙曲線的離心率e=（　�。�
分析：根據(jù)題意得A（-a，0），B（a，0）．設(shè)P（m，n），利用直線的斜率公式算出kPA•kPB=
n2
m2-a2
．由點P是雙曲線上的點，坐標代入雙曲線方程化簡整理得n2=
b2(m2-a2)
a2
，從而得出kPA•kPB=
b2
a2
=
1
2
，由此得到a、c的關(guān)系式，從而解出雙曲線的離心率e的值．
解答：解：由題意，可得A（-a，0），B（a，0），設(shè)P（m，n）
∴kPA•kPB=
n-0
m+a
•
n-0
m-a
=
n2
m2-a2
．
∵點P是雙曲線上的點，可得
m2
a2
-
n2
b2
=1，化簡整理得n2=
b2(m2-a2)
a2
．
∴kPA•kPB=
b2(m2-a2)
a2
m2-a2
=
b2
a2

∵直線PA，PB的斜率乘積為
1
2
，即kPA•kPB=
1
2
，
∴
b2
a2
=
1
2
，可得
c2-a2
a2
=
1
2
，即
c2
a2
-1=
1
2

∴
c2
a2
=
3
2
，可得e=
c
a
=
3
2
=
6
2
．
故選：B
點評：本題給出雙曲線滿足的條件，求雙曲線的離心率．著重考查了直線的斜率公式、雙曲線的簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知F1、F2是雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1的左、右焦點，點P（x，y）是雙曲線右支上的一個動點，且|PF1|的最小值為8，
PF1
與
PF2
的數(shù)量積
PF1
•
PF2
的最小值是-16．
（1）求雙曲線的方程；
（2）過點C（9，16）能否作直線l與雙曲線交于A、B兩點，使C為線段AB的中點．若能，求出直線l的方程；若不能，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下列命題中，正確命題的個數(shù)是（　�。�
①命題“?x∈R，使得x3+1＜0”的否定是““?x∈R，都有x3+1＞0”．
②雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，a＞0）中，F(xiàn)為右焦點，A為左頂點，點B（0，b）且
AB
•
BF
=0，則此雙曲線的離心率為
5
+1
2
．
③在△ABC中，若角A、B、C的對邊為a、b、c，若cos2B+cosB+cos（A-C）=1，則a、c、b成等比數(shù)列．
④已知
a
，
b
是夾角為120°的單位向量，則向量λ
a
+
b
與
a
-2
b
垂直的充要條件是λ=
5
4
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

下列命題中，正確命題的個數(shù)是（　�。�
①命題“?x∈R，使得x3+1＜0”的否定是““?x∈R，都有x3+1＞0”．
②雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，a＞0）中，F(xiàn)為右焦點，A為左頂點，點B（0，b）且
AB
•
BF
=0，則此雙曲線的離心率為
5
+1
2
．
③在△ABC中，若角A、B、C的對邊為a、b、c，若cos2B+cosB+cos（A-C）=1，則a、c、b成等比數(shù)列．
④已知
a
，
b
是夾角為120°的單位向量，則向量λ
a
+
b
與
a
-2
b
垂直的充要條件是λ=
5
4
．
A．1 個B．2 個C．3 個D．4 個

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給出下列四個命題：

① 是的充要條件；

② 已知A、B是雙曲線實軸的兩個端點，M，N是雙曲線上關(guān)于x軸對稱的兩點，直線AM，BN的斜率分別為k1，k2，且的最小值為2，則雙曲線的離心率e=；

③ 取一根長度為3 m的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得兩段的長都不小于1 m的概率是；

④ 一個圓形紙片，圓心為O，F為圓內(nèi)一定點，M是圓周上一動點，把紙片折疊使M與F重合，然后抹平紙片，折痕為CD，設(shè)CD與OM交于P，則P的軌跡是橢圓。

其中真命題的序號是                 。（填上所有真命題的序號）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給出下列四個命題：

① 是的充要條件；

② 已知A、B是雙曲線實軸的兩個端點，M，N是雙曲線上關(guān)于x軸對稱的兩點，直線AM，BN的斜率分別為k1，k2，且的最小值為2，則雙曲線的離心率e=；

③ 取一根長度為3 m的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得兩段的長都不小于1 m的概率是；

④ 一個圓形紙片，圓心為O，F為圓內(nèi)一定點，M是圓周上一動點，把紙片折疊使M與F重合，然后抹平紙片，折痕為CD，設(shè)CD與OM交于P，則P的軌跡是橢圓。

其中真命題的序號是                 。（填上所有真命題的序號）

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