Question

已知函數，當恒成立的a的最小值為k，存在n個

正數，且，任取n個自變量的值

   （I）求k的值；

   （II）如果

   （III）如果，且存在n個自變量的值，使，求證：

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）令，則，

，

當時，此時在條件下，，

 則在上為減函數，所以，

所以在上為減函數，

所以當時，，即；

當，即時，存在，使得，

當時，，為減函數，則，

即在上遞減，則時，，

所以，即；      （2分）

當，即時，，

則在上為增函數，即當時，，即；

當，即時，當時，，

則在上為增函數，當時，，即．

綜上，，則的最小值．             （4分）

（Ⅱ）不妨設,

，，

所以在上為增函數，           （5分）

令．

,

當時, 因為，所以，   （7分）

即在上為增函數，所以，

則，

則原結論成立．          （8分）

（Ⅲ）（�。┊�時，結論成立；

    （ⅱ）假設當結論成立，即存在個正數，

時，對于個自變量的值, 有

．

當時，

令存在個正數, ，

令，則，

對于個自變量的值,

此時

．    （10分）

因為, 所以

所以時結論也成立，                     （11分）

綜上可得．

當時, ，              （12分）

所以在上單調遞增，

所以

【解析】略