Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3+mx2-3m2x+1，m∈R．
（1）當(dāng)m=1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程；
（2）若f（x）在區(qū)間（-2，3）上是減函數(shù)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把m=1代入到f（x）中化簡得到f（x）的解析式，求出f'（x），因?yàn)榍�線的切點(diǎn)為（2，f（2）），所以把x=2代入到f'（x）中求出切線的斜率，把x=2代入到f（x）中求出f（2）的值得到切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)切點(diǎn)和斜率寫出切線方程即可；
（2）已知f（x）在區(qū)間（-2，3）上是減函數(shù)，即f′（x）≤0在區(qū)間（-2，3）上恒成立，然后用導(dǎo)數(shù)求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間，再對m進(jìn)行分類討論建立關(guān)于m的不等關(guān)系解之即可得到m的取值范圍．

解答：解：（1）當(dāng)m=1時(shí)，f(x)=

1

3

x3+x2-3x+1，
又f'（x）=x²+2x-3，所以f'（2）=5．
又f(2)=

5

3

，
所以所求切線方程為 y-

5

3

=5(x-2)，即15x-3y-25=0．
所以曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為15x-3y-25=0．…（6分）
（2）因?yàn)閒'（x）=x²+2mx-3m²，
令f'（x）=0，得x=-3m或x=m．…（8分）
當(dāng)m=0時(shí)，f'（x）=x²≥0恒成立，不符合題意．…（9分）
當(dāng)m＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-3m，m），若f（x）在區(qū)間（-2，3）上是減函數(shù)，
則

-3m≤-2 m≥3.

解得m≥3．…（11分）
當(dāng)m＜0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（m，-3m），若f（x）在區(qū)間（-2，3）上是減函數(shù)，
則

m≤-2 -3m≥3.

，解得m≤-2．
綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍是m≥3或m≤-2．…（13分）

點(diǎn)評：考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點(diǎn)切線方程的斜率，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值．靈活運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想解決數(shù)學(xué)問題．本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，導(dǎo)數(shù)的引入，為研究高次函數(shù)的極值與最值帶來了方便．