Question

【題目】已知集合是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)的全體：在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)，使得.

（1）判斷函數(shù)（為常數(shù)）是否屬于集合；

（2）若屬于集合，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）若，求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有屬于集合.

Answer 1

【答案】（1）屬于；（2）；（3）證明見解析

【解析】

（1）利用時(shí)，方程，此方程恒成立，說明函數(shù)（為常數(shù)）屬于集合；

（2）由屬于集合，推出有實(shí)數(shù)解，即方程有實(shí)數(shù)解，分和兩種情況，得到結(jié)果；

（3）當(dāng)時(shí)，方程有解，令，則在上的圖象是連續(xù)的，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，判定函數(shù)是否有零點(diǎn)，證明對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有屬于集合.

（1）當(dāng)時(shí)，方程，

此方程恒成立，

所以函數(shù)（為常數(shù)）屬于集合；

（2）由屬于集合，

可得方程有實(shí)數(shù)解，

即，整理得方程有實(shí)數(shù)解，

當(dāng)時(shí)，方程有實(shí)根，

當(dāng)時(shí)，有，

解得或，

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為；

（3）當(dāng)時(shí)，方程有解，

等價(jià)于有解，

整理得有解，

令，則在上的圖象是連續(xù)的，

當(dāng)時(shí)，，

故在上有一個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，，

故在上至少有一個(gè)零點(diǎn)，

故對(duì)任意的實(shí)數(shù)，在上都有零點(diǎn)，即方程總有解，

所以對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有屬于集合.