Question

設(shè)橢圓方程為，過點(diǎn)M(0，1)的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P滿足，點(diǎn)N坐標(biāo)為(，)．

(1)當(dāng)直線繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；

(2)當(dāng)直線繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時(shí)，求的最大值與最小值．

Answer 1

解：(1)直線過定點(diǎn)M(0，1)，設(shè)其斜率為(當(dāng)斜率存在時(shí))，則直線的方程為y=+1．

    記A(，)、B(，)，由題意知，A、B坐標(biāo)滿，

消去，得(4+)+2一3=0，

    △=4k²+12(4+k²)>0，

    所以+=－，=

    設(shè)P(，y)，則由得

    (，y)=(₁+₂，y₁+y₂)

          = (一，，)

          =()．

     消去k得4²+y²一y=0：

     當(dāng)斜率不存在時(shí)，AB的中點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，也滿足這個(gè)方程，

故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為4²+y²一y=0．

     (2)將P點(diǎn)軌跡方程配方得

     (4)²+[2(y－)]²=1，

     ∴一≤≤．

而||²=(一)²+(y一)² 

=(一)²+

于是，當(dāng)=一時(shí)，取得最大值=．

當(dāng)=時(shí)，取得最小值=．