Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁．
（1）求二面角A-BD₁-C的大�。�
（2）求BD₁與平面ACD₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）在平面ABD₁內(nèi)，過A作AE⊥BD₁，交BD₁于E，連接CE，證明∠AEC為二面角A-BD₁-C的平面角，利用余弦定理，可求二面角A-BD₁-C的大��；
（2）利用等體積，求出BD₁與平面ACD₁的距離，即可求BD₁與平面ACD₁所成角的正弦值．

解答：解：（1）在平面ABD₁內(nèi)，過A作AE⊥BD₁，交BD₁于E，連接CE

△AD₁B與△CD₁B中，AB=BC，AD₁=CD₁，BD₁=BD₁，∴△AD₁B≌△CD₁B，
∴AE=CE
∵AE⊥BD₁，∴CE⊥BD₁，
∴∠AEC為二面角A-BD₁-C的平面角
∵AB⊥平面ADD₁A₁，AD₁?平面ADD₁A₁，∴AB⊥AD₁，∴△ABD₁是Rt△，
設(shè)正方體的棱長為1，AD₁=

2

，BD₁=

3

，
由等面積可得AE•BD₁=AD_1•AB，∴AE=

6

3

，
在△AEC中，根據(jù)余弦定理，cos∠AEC=

AE2+CE2-AC2

2AE•CE

=-

1

2

∴∠AEC=120°，即二面角A-BD₁-C的大小為120°；
（2）設(shè)BD₁與平面ACD₁所成角為θ，BD₁與平面ACD₁的距離為h，則
由VB-ACD1=VD1-ABC可得

1

3

×

3

4

×2×h=

1

3

×

1

2

×1×1×1
∴h=

3

3

∵BD1=

3

，∴sinθ=

h

BD1

=

1

3

∴BD₁與平面ACD₁所成角的正弦值為

1

3

．

點(diǎn)評：本題主要考查正方體的性質(zhì)、直線與平面所成的角，考查三棱錐體積公式的運(yùn)用，考查余弦定理，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．