已知拋物線的頂點在坐標原點,對稱軸為軸,焦點為,拋物線上一點的橫坐標為2,且.
(1)求拋物線的方程;
(2)過點作直線交拋物線于,兩點,求證: .
(1)(2)詳見解析.
解析試題分析:(1)可利用待定系數(shù)法設拋物線方程為求解;
(2)因為是直線與圓錐曲線的相交問,可以設直線方程(斜率不存在時單獨討論),然后聯(lián)立拋物線方程和直線方程運用韋達定理結合條件來求解.
試題解析:解:(1)由題設拋物線的方程為:,
則點的坐標為,點的一個坐標為,2分
∵,∴,4分
∴,∴,∴.6分
(2)設、兩點坐標分別為、,
法一:因為直線當的斜率不為0,設直線當的方程為
方程組得,
因為
所以
=0,
所以.
法二:①當的斜率不存在時,的方程為,此時
即有所以.…… 8分
當的斜率存在時,設的方程為
方程組得
所以10分
因為
所以
所以.
由①②得.12分
考點:1.拋物線的標準方程;2.直線與圓錐曲線的位置關系.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知橢圓的右焦點為F2(1,0),點 在橢圓上.
(1)求橢圓方程;
(2)點在圓上,M在第一象限,過M作圓的切線交橢圓于P、Q兩點,問|F2P|+|F2Q|+|PQ|是否為定值?如果是,求出定值,如不是,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知中心在原點的橢圓C:的一個焦點為F1(0,3),M(x,4)(x>0)為橢圓C上一點,△MOF1的面積為.
(1) 求橢圓C的方程;
(2) 是否存在平行于OM的直線l,使得直線l與橢圓C相交于A,B兩點,且以線段AB為直徑的圓恰好經過原點?若存在,求出直線l的方程;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
拋物線在點,處的切線垂直相交于點,直線與橢圓相交于,兩點.
(1)求拋物線的焦點與橢圓的左焦點的距離;
(2)設點到直線的距離為,試問:是否存在直線,使得,,成等比數(shù)列?若存在,求直線的方程;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
拋物線,其準線方程為,過準線與軸的交點做直線交拋物線于兩點.
(1)若點為中點,求直線的方程;
(2)設拋物線的焦點為,當時,求的面積.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
在平面直角坐標系中,已知點及直線,曲線是滿足下列兩個條件的動點的軌跡:①其中是到直線的距離;②
(1) 求曲線的方程;
(2) 若存在直線與曲線、橢圓均相切于同一點,求橢圓離心率的取值范圍.
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