Question

選修4-5：不等式選講已知函數(shù)f（x）=|x+1|+|x-2|，不等式t≤f（x）在R上恒成立．
（Ⅰ）求t的取值范圍；
（Ⅱ）記t的最大值為T，若正實數(shù)a，bc滿足a²+b²+c²=T，求a+2b+c的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用絕對值三角不等式求出f（x）的最小值，再結合不等式t≤f（x）在R上恒成立即可求得t的取值范圍；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得T=t_max=3，由柯西不等式得：（a+2b+c）²≤（1²+2²+1²）（a²+b²+c²）=18即可得到a+2b+c的最大值．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=|x+1|+|x-2|≥|（x+1）-（x-2）|=3，∴f（x）_min=3．…（2分）∵不等式t≤f（x）在R上恒成立，∴t≤f（x）_min=3，t的取值范圍為（-∞，3]．…（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得T=t_max=3，
由柯西不等式得：（a+2b+c）²≤（1²+2²+1²）（a²+b²+c²）=18，∴a+2b+c≤3

2

．…（5分）
當且僅當

a

1

=

b

2

=

c

1

即a=

2

2

，b=

2

，c=

2

2

時，a+2b+c的最大值為3

2

．…（7分）

點評：本題主要考查利用絕對值不等式的基本性質(zhì)求解和證明不等式等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．