Question

給出下列五個命題：
①若f（x）=sin（2x+φ）是偶函數(shù)，則?=2kπ+

π

2

，k∈Z；
②函數(shù)f(x)=cos2x-2

3

sinxcosx在區(qū)間[-

π

6

，

π

3

]上是單調(diào)遞增；
③已知a，b∈R，則“a＞b＞0”是“(

1

2

)a＜(

1

2

)b”的充分不必要條件；
④若xlog₃4=1，則4x+4-x=

10

3

；
⑤在△ABC中，若tanA+tanB+tanC＞0，則△ABC必為銳角三角形．
其中正確命題的序號是

 

（寫出所有正確命題的序號）．

Answer 1

分析：①由偶函數(shù)的性質(zhì)可得對稱軸為y軸且該點取得函數(shù)的最值，則f（0）=±1，代入可求φ
②利用輔助角公式化簡可得，函數(shù)f(x)=cos2x-2

3

sinxcosx=cos（2x+

π

3

）利用余弦函數(shù)的單調(diào)性判斷
③結(jié)合指數(shù)函數(shù)y=(

1

2

)x的單調(diào)性及定義域判斷
④由xlog₃4=1?x=log₄3，代入求解即可
⑤由三角形的內(nèi)角和定理可知，三角形的內(nèi)角最多有一個鈍角，故可設A，B為銳角，tanA＞0，tanB＞0
利用內(nèi)角和公式可把tanA+tanB+tanC＞0?tanA+tanB-tan（A+B）＞0，利用兩角和的正切公式展開整理可得tanAtanB＞1，則可得tanA＞cotB=tan（(

π

2

-B)，則有A＞

1

2

π-B，所以有A+B＞

π

2

，從而可得C＜

π

2

解答：解：①若f（x）=sin（2x+φ）是偶函數(shù)，則由偶函數(shù)的性質(zhì)可得對稱軸為y軸且該點取得函數(shù)的最值，則f（0）=±1，代入可得，φ=kπ+

π

2

，k∈Z故①錯誤
②函數(shù)f(x)=cos2x-2

3

sinxcosx=cos2x-

3

sin2x=2cos(2x+

π

3

)，在區(qū)間[-

π

6

，

π

3

]上是單調(diào)遞減，故②錯誤
③a＞b＞0?(

1

2

)a＜(

1

2

)b，但由(

1

2

)a＜(

1

2

)b只可得a＞b，即a＞b＞0是(

1

2

)a＜(

1

2

)b的充分不必要條件，故③正確
④由xlog₃4=1?x=log₄3，則4x+4-x=4log43+

1

4log43

=3+

1

3

=

10

3

，故④正確
⑤由三角形的內(nèi)角和定理可知，三角形的內(nèi)角最多有一個鈍角，故可設A，B為銳角，tanA＞0，tanB＞0
利用內(nèi)角和公式可把tanA+tanB+tanC＞0?tanA+tanB-tan（A+B）＞0，利用兩角和的正切公式展開整理可得tanAtanB＞1，則可得tanA＞cotB=tan（(

π

2

-B)，則有A＞

1

2

π-B，所以有A+B＞

π

2

，從而可得C＜

π

2

故⑤正確
故答案為：③④⑤

點評：本題綜合考查了正弦函數(shù)的奇偶性，三角函數(shù)的輔助角公式的運用，指數(shù)函數(shù)的定義域、單調(diào)性及特殊點的應用，對數(shù)的換底公式及指數(shù)的基本運算，