Question

 （選做題）本大題包括A，B，C，D共4小題，請(qǐng)從這4題中選做2小題. 每小題10分，共20分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上準(zhǔn)確填涂題目標(biāo)記. 解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．

A. 選修4－1：幾何證明選講

如圖，是⊙的直徑，是⊙上的兩點(diǎn)，⊥，

過(guò)點(diǎn)作⊙的切線(xiàn)FD交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)．連結(jié)交

于點(diǎn).

    求證：.

 

B. 選修4－2：矩陣與變換

求矩陣的特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量.

 

C. 選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程是，直線(xiàn)的參數(shù)方程是（為參數(shù)）．

   （1）將曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；

   （2）設(shè)直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)是，是曲線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，求的最大值.

 

D．選修4－5：不等式選講

    設(shè)均為正數(shù)，且，求證

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

A. 選修4－1：幾何證明選講

【證明】連結(jié)OF．

因?yàn)?i>DF切⊙O于F，所以∠OFD=90°．

所以∠OFC+∠CFD=90°．

因?yàn)?i>OC=OF，所以∠OCF=∠OFC．         

因?yàn)?i>CO⊥AB于O，所以∠OCF+∠CEO=90°．  ………………………5分

所以∠CFD=∠CEO=∠DEF，所以DF=DE．

因?yàn)?i>DF是⊙O的切線(xiàn),所以DF²=DB·DA．所以DE²=DB·DA．  ……………10分

B. 選修4－2：矩陣與變換

【解】特征多項(xiàng)式，  …………3分

由，解得.    ………………………………………6分

將代入特征方程組，得.

可取為屬于特征值₁=1的一個(gè)特征向量． …………………………8分

將代入特征方程組, 得.

可取為屬于特征值的一個(gè)特征向量．    

綜上所述,矩陣有兩個(gè)特征值；屬于的一個(gè)特征向量為，

屬于 的一個(gè)特征向量為 ．   ………………………………10分

C. 選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

【解】（1）曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程可化為.      ……………………2分

又,

所以曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為.      ………………………4分

   （2）將直線(xiàn)l的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程,得.…………………6分

    令,得,即點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,0).

    又曲線(xiàn)為圓，圓的圓心坐標(biāo)為(1,0)，半徑，則. _­­…………8分

 所以．   ………………………………10分

D．選修4－5：不等式選講

【證明】因?yàn)?sub>，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．

     又因?yàn)?sub>，

所以        ……………10分