Question

已知函數(shù)f（x）=x²-ax+lnx+b（a，b∈R）
（1）若函數(shù)f（x）在x=1處的切線方程為x+y+2=0，求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）若f（x）在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)題意可得f（1）=1-a+b，f′（1）=3-a
（1）由題意可得

k=f′(1)=3-a=-1 1+f(1)+2=0

可求a，b
（2）由題意可得f′(x)=2x-a+

1

x

≥0在x∈（0，+∞）恒成立即2x²-ax+1≥0，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求a的范圍；
另解由題意可得f′(x)=2x-a+

1

x

≥0在x∈（0，+∞）恒成立，即a≤2x+

1

x

，利用基本不等式求解2x+

1

x

的最小值，進(jìn)而可求a的范圍．

解答：解：∵f（x）=x²-ax+lnx+b
∴f′(x)=2x-a+

1

x

…（2分）
∴f（1）=1-a+b，f′（1）=3-a…（4分）
（1）∵函數(shù)f（x）在x=1處的切線方程為x+y+2=0
∴

k=f′(1)=3-a=-1 1+f(1)+2=0

解得：a=4，b=0．…（7分）
（2）f（x）=x²-ax+lnx+b的定義域?yàn)閧x|x＞0}…（8分）
∵f（x）在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增
∴f′(x)=2x-a+

1

x

＞0在x∈（0，+∞）恒成立（允許個(gè)別點(diǎn)處等于零）   …（9分）
∵2x-a+

1

x

＞0（x＞0）即2x²-ax+1＞0
令g（x）=2x²-ax+1，則其對(duì)稱軸方程是x=

a

4

．
當(dāng)

a

4

≤0即a≤03時(shí)，g（x）在區(qū)間（0，+∞）上遞增
∴g（x）在區(qū)間[0，+∞）上有g(shù)（x）_min=g（0）=1＞0，滿足條件．…（11分）
當(dāng)

a

4

＞0即a＞0時(shí)，g（x）在區(qū)間(0，

a

4

)上遞減，g（x）在區(qū)間(

a

4

，+∞)上遞增，
則g(x)min=g(

a

4

)=-

a2

8

+1≥0（a＞0）…（13分）
解得：0＜a≤2

2

綜上所得，a≤2

2

…（14分）
另解：（2）f（x）=x²-ax+lnx+b的定義域?yàn)閧x|x＞0}…（8分）
∵f（x）在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增
∴f′(x)=2x-a+

1

x

＞0在x∈（0，+∞）恒成立（允許個(gè)別點(diǎn)處取到等號(hào)）…（9分）
∵2x-a+

1

x

＞0（x＞0）即a＜2x+

1

x

(x＜0)（允許個(gè)別值處取到等號(hào)）…（10分）
令g(x)=2x+

1

x

(x＜0)，則a≤g（x）_min，…（11分）
因?yàn)?span id="hn2a5oq" class="MathJye">g(x)=2x+

1

x

≥2

2x• 1 x

=2

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)2x=

1

x

即x=

2

2

時(shí)取到等號(hào)．…（13分）
所以 g(x)min=2

2

，所以a≤2

2

…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的 應(yīng)用，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系的應(yīng)用及恒成立與函數(shù)的最值求解的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系的應(yīng)用．