Question

(本小題滿分14分)

某國采用養(yǎng)老儲備金制度.公民在就業(yè)的第一年就交納養(yǎng)老儲備金，數(shù)目為a₁，以后每年交納的數(shù)目均比上一年增加d（d>0），因此，歷年所交納的儲務(wù)金數(shù)目a₁，a₂，…是一個公差為d的等差數(shù)列，與此同時，國家給予優(yōu)惠的計息政策，不僅采用固定利率，而且計算復(fù)利.這就是說，如果固定年利率為r（r>0），那么，在第n年末，第一年所交納的儲備金就變?yōu)?i>a₁（1＋r）^a－1，第二年所交納的儲備金就變?yōu)?i>a₂（1＋r）^a－2，……，以T_n表示到第n年末所累計的儲備金總額.

（Ⅰ）寫出T_n與T_n－1（n≥2）的遞推關(guān)系式；

（Ⅱ）求證：T_n＝A_n＋B_n，其中｛A_n｝是一個等比數(shù)列，｛B_n｝是一個等差數(shù)列.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）

 

（Ⅱ）是以為首項，以為公比的等比數(shù)列；是以為首項，為公差的等差數(shù)列

【解析】解：（Ⅰ）我們有．

（Ⅱ），對反復(fù)使用上述關(guān)系式，得

  ，             ①

在①式兩端同乘，得

         ②

②①，得

            ．

即．

如果記，，

則．

其中是以為首項，以為公比的等比數(shù)列；是以為首項，為公差的等差數(shù)列．