Question

已知點G是△ABC的重心，且AG⊥BG，

1

tanA

+

1

tanB

=

λ

tanC

，則實數(shù)λ的值為（　　）

• A、

  1

  3

• B、

  1

  2

• C、3
• D、2

Answer 1

考點：正弦定理,同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用

專題：計算題,解三角形

分析：首先根據(jù)三角形的重心性質(zhì)及直角三角形的斜邊的中線等于斜邊的一半，得到CD=

3

2

AB，再應(yīng)用余弦定理推出AC²+BC²=5AB²，將

1

tanA

+

1

tanB

=

λ

tanC

應(yīng)用三角恒等變換公式化簡得λ=

sin2C

sinAsinBcosC

，然后運用正弦定理和余弦定理，結(jié)合前面的結(jié)論，即可求出實數(shù)λ的值．

解答：解：如圖，連接CG，延長交AB于D，
由于G為重心，故D為中點，
∵AG⊥BG，∴DG=

1

2

AB，
由重心的性質(zhì)得，CD=3DG，即CD=

3

2

AB，
由余弦定理得，AC²=AD²+CD²-2AD•CD•cos∠ADC，
BC²=BD²+CD²-2BD•CD•cos∠BDC，
∵∠ADC+∠BDC=π，AD=BD，
∴AC²+BC²=2AD²+2CD²，
∴AC²+BC²=

1

2

AB²+

9

2

AB²=5AB²，
又∵

1

tanA

+

1

tanB

=

λ

tanC

，
∴

cosA

sinA

+

cosB

sinB

=

λcosC

sinC

，即λ=

(sinAcosB+cosAsinB)sinC

sinAsinBcosC

，
∴λ=

sin(A+B)sinC

sinAsinBcosC

=

sin2C

sinAsinBcosC

=

AB2

BC•AC•cosC

=

2AB2

BC2+AC2-AB2

=

2AB2

5AB2-AB2

=

1

2

．
即λ=

1

2

．
故選B．

點評：本題主要考查解三角形中的正弦定理與余弦定理及應(yīng)用，考查三角恒等變換，三角形的重心的性質(zhì)，考查運算能力，有一定的難度．