Question

如圖,已知平面A₁B₁C₁平行于三棱錐V—ABC的底面ABC,等邊△AB₁C所在的平面與底面ABC垂直,且∠ACB=90°,設(shè)AC=2a,BC=a.

(1)求證:直線B₁C₁是異面直線AB₁與A₁C₁的公垂線;

(2)求點(diǎn)A到平面VBC的距離;

(3)求二面角A-VB-C的大小.

Answer 1

(1)證明:∵平面A₁B₁C₁∥平面ABC,

∴B₁C₁∥BC,A₁C₁∥AC.

∵BC⊥AC,

∴B₁C₁⊥A₁C₁.

又∵平面AB₁C⊥平面ABC,

平面AB₁C∩平面ABC=AC,

∴BC⊥平面AB₁C.

∴BC⊥AB₁.

∴B₁C₁⊥AB₁.又A₁C₁∩B₁C₁=C₁,B₁C₁∩AB₁=B₁,

∴B₁C₁為AB₁與A₁C₁的公垂線.

(2)解析:如圖,過A作AD⊥B₁C于D,

∵△AB₁C為正三角形,

∴D為B₁C的中點(diǎn).

∵BC⊥平面AB₁C,

∴BC⊥AD.又B₁C∩BC=C,

∴AD⊥平面VBC.

∴線段AD的長即為點(diǎn)A到平面VBC的距離.

在等邊△AB₁C中,AD=×2a=a.

(3)解析:如圖,過D點(diǎn)作DH⊥VB于H,連結(jié)AH,由三垂線定理知AH⊥VB,

在Rt△AHD中,AD=a,

△B₁DH∽△B₁BC,,

∴DH=.

∴tan∠AHD=.

∴∠AHD=arctan.

∴二面角A-VB-C的大小為arctan.