Question

【題目】某學校有120名教師，且年齡都在20歲到60歲之間，各年齡段人數按分組，其頻率分布直方圖如圖所示，學校要求每名教師都要參加兩項培訓，培訓結束后進行結業(yè)考試．已知各年齡段兩項培訓結業(yè)考試成績優(yōu)秀的人數如表示，假設兩項培訓是相互獨立的，結業(yè)考試成績也互不影響．

年齡分組	A項培訓成績優(yōu)秀人數	B項培訓成績優(yōu)秀人數
[20，30）	30	18
[30，40）	36	24
[40，50）	12	9
[50，60]	4	3

（1）若用分層抽樣法從全校教師中抽取一個容量為40的樣本，求從年齡段[20，30）抽取的人數；
（2）求全校教師的平均年齡；
（3）隨機從年齡段[20，30）和[30，40）內各抽取1人，設這兩人中兩項培訓結業(yè)考試成績都優(yōu)秀的人數為X，求X的概率分布和數學期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：由頻率分布直方圖知，0.35×40=14
（2）解：由頻率分布直方圖得：

全校教師的平均年齡為：

25×0.35+35×0.4+45×0.15+55×0.1=35

（3）解：∵在年齡段[20，30）內的教師人數為120×0.35=42（人），從該年齡段任取1人，

由表知，此人A項培訓結業(yè)考試成績優(yōu)秀的概率為 ，

B項培訓結業(yè)考試成績優(yōu)秀的概率為 ，

∴此人A、B兩項培訓結業(yè)考試成績都優(yōu)秀的概率為 ，

∵在年齡段[30，40）內的教師人數為120×0.4=48（人），

從該年齡段任取1人，由表知，此人A項培訓結業(yè)考試成績優(yōu)秀的概率為 ，

B項培訓結業(yè)考試成績優(yōu)秀的概率為 ，

∴此人A、B兩項培訓結業(yè)考試成績都優(yōu)秀的概率為

由題設知X的可能取值為0，1，2．

∴ ，

，

∴X的概率分布為

X	0	1	2
P

X的數學期望為

【解析】（1）由頻率分布直方圖能求出從年齡段[20，30）抽取的人數．（2）由頻率分布直方圖能求出全校教師的平均年齡．（3）由題設知X的可能取值為0，1，2．分別求出相應的概率，由此能求出X的概率分布列和數學期望．
【考點精析】掌握頻率分布直方圖和離散型隨機變量及其分布列是解答本題的根本，需要知道頻率分布表和頻率分布直方圖，是對相同數據的兩種不同表達方式.用緊湊的表格改變數據的排列方式和構成形式，可展示數據的分布情況.通過作圖既可以從數據中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息；在射擊、產品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列．