已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)P（1，0），且與定直線l：x=-1相切，點(diǎn)C在l上。
（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡M的方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)P，且斜率為-的直線與曲線M相交于A、B兩點(diǎn)。問△ABC能否為正三角形？若能，求出C點(diǎn)的坐標(biāo)；若不能，說明理由。
解：（1）依題意，曲線M是以點(diǎn)P為焦點(diǎn)，直線l為準(zhǔn)線的拋物線，所以曲線M的方程為y2=4x，如圖所示。
（2）由題意得，直線AB的方程為
由消y得：3x2-10x+3=0
解得
若△ABC能為正三角形
設(shè)C（-1，y），則|AC|=|AB|=|BC|，即

①②組成的方程組無解，因此直線l上不存在點(diǎn)C使△ABC是正三角形。
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)P（1，0），且與定直線l：x=-1相切，點(diǎn)C在l上．
（Ⅰ）求動(dòng)圓圓心的軌跡M的方程；
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)P，且斜率為-
3
的直線與曲線M相交于A，B兩點(diǎn)．
（i）問：△ABC能否為正三角形？若能，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不能，說明理由；
（ii）當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，求這種點(diǎn)C的縱坐標(biāo)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)P（1，0），且與定直線l：x=-1相切，點(diǎn)C在l上．
（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡M的方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)P且斜率為-
3
的直線與曲線M相交于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的長；
（3）問：△ABC能否為正三角形？若能，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不能，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2007•寶山區(qū)一模）已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)P（1，0），且與定直線l：x=-1相切．
（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡M的方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)P，且傾斜角為120°的直線與曲線M相交于A，B兩點(diǎn)，A，B在直線l上的射影是A1，B1．
①求梯形AA1B1B的面積；
②若點(diǎn)C是線段A1B1上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△ABC為直角三角形時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)P（1，0），且與定直線l：x=-1相切，點(diǎn)C在l上．
（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡M的方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)P，且斜率為-
3
的直線與曲線M相交于A、B兩點(diǎn)．問：△ABC能否為正三角形？若能，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不能，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2009年高考數(shù)學(xué)壓軸試卷集錦（1）（解析版） 題型：解答題

已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)P（1，0），且與定直線l：x=-1相切，點(diǎn)C在l上．
（Ⅰ）求動(dòng)圓圓心的軌跡M的方程；
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)P，且斜率為-的直線與曲線M相交于A，B兩點(diǎn)．
（i）問：△ABC能否為正三角形？若能，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不能，說明理由；
（ii）當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，求這種點(diǎn)C的縱坐標(biāo)的取值范圍．

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