Question

19.如圖，三棱柱OAB—O₁A₁B₁，平面OBB₁O₁⊥平面OAB，∠O₁OB=60°，∠AOB=90°，且OB=OO₁=2，OA=.求：

（1）二面角O₁—AB—O的大小；

（2）異面直線A₁B與AO₁所成角的大小.（上述結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）

Answer 1

19.解：（1）取OB的中點(diǎn)D，連結(jié)O₁D，則O₁D⊥OB.

 

∵平面OBB₁O₁⊥平面OAB，∴O₁D⊥平面OAB.

過D作AB的垂線，垂足為E，連結(jié)O₁E. 則O₁E⊥AB.

∴∠DEO₁為二面角O₁—AB—O的平面角.

 

由題設(shè)得O₁D=，sinOBA==，

∴DE=DBsinOBA=.

∵在Rt△O₁DE中，tanDEO₁=，

∴∠DEO₁=arctan，即二面角O₁—AB—O的大小為arctan.

（2）以O點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以OA、OB所在直線為x、y軸，過O點(diǎn)且與平面AOB垂直的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則

O（0，0，0），O₁（0，1，），A（，0，0），A₁（，1，），B（0，2，0）.

設(shè)異面直線A₁B與AO₁所成的角為α，

則=－=｛－，1，－｝，

=－=｛，－1，｝，

cosα==，

∴異面直線A₁B與AO₁所成角的大小為arccos.