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設函數f（x）=x|x|+bx+c（x∈R）給出下列4個命題
①當b=0時，f（x）=0只有一個實數根；
②當c=0時，y=f（x）是偶函數；
③函數y=f（x）的圖象關于點（0，c）對稱；
④當b≠0，c≠0時，方程f（x）=0有兩個不等實數根．
上述命題中，所有正確命題的個數是（　　）
分析：對于①當b=0時，f（x）=x|x|+c=0，因y=x|x|與y=-c只有一個交點，故可判斷；②當c=0時，f（x）=x|x|+bx，可判斷函數為奇函數；③y=f（x）的圖象可由奇函數f（x）=x|x|+bx向上或向下移|c|，y=f（x）的圖象與y軸交點為（0，c），故函數y=f（x）的圖象關于點（0，c）對稱，故可判斷；④當b≠0，c≠0時，f（x）=x|x|+x+1只有一個實數根．
解答：解：①當b=0時，f（x）=x|x|+c=0，因y=x|x|與y=-c只有一個交點，故①正確；
②當c=0時，f（x）=x|x|+bx，f（-x）=-f（x），故y=f（x）是奇函數；
③y=f（x）的圖象可由奇函數f（x）=x|x|+bx向上或向下移|c|，y=f（x）的圖象與y軸交點為（0，c），故函數y=f（x）的圖象關于點（0，c）對稱，故③正確；
④當b≠0，c≠0時，f（x）=x|x|+x+1只有一個實數根．
故選C．
點評：本題的考點是命題的真假判斷與應用．主要考查函數性質的判斷，關鍵是正確理解函數．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數y=f（x）圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為
2
，求a的值；
（2）關于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數恰有3個，求實數a的取值范圍；
（3）對于函數f（x）與g（x）定義域上的任意實數x，若存在常數k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數f（x）與g（x）的“分界線”．設a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）的定義域為A，若存在非零實數t，使得對于任意x∈C（C⊆A），有x+t∈A，且f（x+t）≤f（x），則稱f（x）為C上的t低調函數．如果定義域為[0，+∞）的函數f（x）=-|x-m2|+m2，且 f（x）為[0，+∞）上的10低調函數，那么實數m的取值范圍是（　　）
A、[-5，5]
B、[-
5
，
5
]
C、[-
10
，
10
]
D、[-
5
2
，
5
2
]

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•深圳一模）已知函數f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數t的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）是定義在R上的偶函數，且f（x+2）=f（x）恒成立；當x∈[0，1]時，f（x）=x3-4x+3．有下列命題：
①f(-
3
4
) ＜f(
15
2
)；
②當x∈[-1，0]時f（x）=x3+4x+3；
③f（x）（x≥0）的圖象與x軸的交點的橫坐標由小到大構成一個無窮等差數列；
④關于x的方程f（x）=|x|在x∈[-3，4]上有7個不同的根．
其中真命題的個數為（　　）

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科目：高中數學 來源：徐州模擬 題型：解答題

設函數f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數y=f（x）圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為2
2
，求a的值；
（2）關于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數恰有3個，求實數a的取值范圍；
（3）對于函數f（x）與g（x）定義域上的任意實數x，若存在常數k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數f（x）與g（x）的“分界線”．設a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

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