分析:(1)當(dāng)t≠1時(shí),a
n+1-a
n=t(a
n-a
n-1)(n≥2),故
=t(n≥2),由此能夠證明{a
n+1-a
n}是首項(xiàng)為t
2-t,公比為t的等比數(shù)列.
(2)當(dāng)t≠1時(shí),
an+1-an=(t2-t)tn-1(t≠1),即
an+1-an=tn+1-tn,故
an-an-1=tn-tn-1,
an-1-an-2=tn-1-tn-2,…,
a2-a1=t2-t,將上列各等式相加得
an=tn(t≠1),由此能夠得到
an=tn(t>0).
(3)由
bn==,得
=(tn+),由
(2n+)-(tn+)=(2n-tn),和
<t<2,知2
n>t
n,2t>1,由此入手能夠比較
+++…+與
2n-2-的大。
解答:解:(1)由已知得,當(dāng)t≠1時(shí),
a
n+1-a
n=t(a
n-a
n-1)(n≥2)…(2分)
∴
=t(n≥2),
又∵
a2-a1=t2-t=t(t-1)≠0∴{a
n+1-a
n}是首項(xiàng)為t
2-t,公比為t的等比數(shù)列…(4分)
(2)由(1)得,當(dāng)t≠1時(shí),
an+1-an=(t2-t)tn-1(t≠1),
即
an+1-an=tn+1-tn(5分)
∴
an-an-1=tn-tn-1,
an-1-an-2=tn-1-tn-2,…,
a2-a1=t2-t,
將上列各等式相加得
an-a1=tn-t,
∴
an=tn(t≠1)…(6分)
當(dāng)t=1時(shí),a
n+1-a
n=a
n-a
n-1=…=a
2-a
1=0,
∴a
n=1
綜上可知
an=tn(t>0)…(8分)
(3)由
bn==,
得
=(tn+)…(9分)
∵
(2n+)-(tn+)=(2n-tn),
又
<t<2,
∴2
n>t
n,2t>1,
∴(2t)
n>1,
∴
2n+>tn+,
∴
<(2n+)…(11分)
∴
++…
+<[(2+22+…
+2n)+(++…
+)]=
[+]=
2n-(1+2-n)<2n-•2=2n-2- .…(14分)
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列與不等式的綜合運(yùn)用,考查運(yùn)算求解能力,推理論證能力;考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.綜合性強(qiáng),難度大,有一定的探索性,對(duì)數(shù)學(xué)思維能力要求較高,是高考的重點(diǎn).解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答.