Question

【題目】已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=2，前n項(xiàng)和為Sn ， 等比數(shù)列{bn}的首項(xiàng)b1=1，且a2=b3 ， S3=6b2 ， n∈N* ．
（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）數(shù)列{cn}滿足cn=bn+（﹣1）nan ， 記數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn ， 求Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q．

∵a1=2，b1=1，且a2=b3，S3=6b2，n∈N*．

∴2+d=q2，3×2+ =6q，

聯(lián)立解得d=q=2．

∴an=2+2（n﹣1）=2n，bn=2n﹣1

（2）解：cn=bn+（﹣1）nan=2n﹣1+（﹣1）n2n．

∴數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn=1+2+22+…+2n﹣1+[﹣2+4﹣6+8+…+（﹣1）n2n]= +[﹣2+4﹣6+8+…+（﹣1）n2n]=2n﹣1+[﹣2+4﹣6+8+…+（﹣1）n2n]．

∴n為偶數(shù)時(shí)，Tn=2n﹣1+[（﹣2+4）+（﹣6+8）+…+（﹣2n+2+2n）]．

=2n﹣1+n．

n為奇數(shù)時(shí)，Tn=2n﹣1+ ﹣2n．

=2n﹣2﹣n．

∴Tn=

【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q．根據(jù)a1=2，b1=1，且a2=b3，S3=6b2，n∈N*．

可得2+d=q2，3×2+ =6q，聯(lián)立解得d，q．即可得出．（2）cn=bn+（﹣1）nan=2n﹣1+（﹣1）n2n．可得數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn=1+2+22+…+2n﹣1+[﹣2+4﹣6+8+…+（﹣1）n2n]=2n﹣1+[﹣2+4﹣6+8+…+（﹣1）n2n]．對(duì)n分類討論即可得出．

【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)知識(shí)，掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系，以及對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)公式的理解，了解如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．