Question

（2012•煙臺(tái)一模）已知函數(shù)f(x)=

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x3-bx2+2x+a，x=2是f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，f(x)-

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＞a2恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用x=2是f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，可得f'（2），從而可求b的值，進(jìn)而利用f'（x）＞0可得函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間，f'（x）＜0可得函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）x∈[1，+∞）時(shí)，f(x)-

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＞a2恒成立等價(jià)于a2＜f(x)min-

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，x∈[1，+∞)，由此可求a的取值范圍．

解答：解：（1）求導(dǎo)函數(shù)，可得f'（x）=x²-2bx+2
∵x=2是f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)
∴f'（2）=4-4b+2=0，∴b=

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，--------------------------------------------（2分）
∴f'（x）=x²-3x+2=（x-1）（x-2）------------------------------------------（4分）
由f'（x）＞0得x＞2或x＜1，∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，1），（2，+∞）；------（6分）
由f'（x）＜0得1＜x＜2，∴函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（1，2），---------------------（8分）
（2）由（1）知，函數(shù)f（x）在（1，2）上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增
∴當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值，f（x）_min=f（2）=a+

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，------------------（10分）
x∈[1，+∞）時(shí)，f(x)-

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＞a2恒成立等價(jià)于a2＜f(x)min-

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，x∈[1，+∞)-----------（12分）
即a²-a＜0，
∴0＜a＜1．----------------------------------------------------（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的極值與單調(diào)性，考查恒成立問題，解題的關(guān)鍵是正確求導(dǎo)，確定函數(shù)的單調(diào)性，恒成立問題利用分離參數(shù)法求解．